這份筆記是關於勒貝格測度的定義與性質。
勒貝格外測度
定義 1：區間的大小 (Size of Intervals)
對於\(\mathbb{R}\)上的開區間\((a,b)\)，我們定義其大小為 \[ |(a,b)|=b-a \]
定義 2：\(\mathbb{R}\)上的勒貝格外測度 (Lebesgue Outer Measure on \(\mathbb{R}\))
給定集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)，我們將其勒貝格外測度定義為 \[ m^\ast(A)=\inf\left\{\sum_{k=1}^\infty|I_k|:A\subseteq\bigcup_{k=1}^\infty I_k,\;I_k\mbox{ are open intervals on }\mathbb{R}\right\} \] 若\(\sum\limits_{k=1}^\infty|I_k|\)總是發散，則記\(m^\ast(A)=\infty\)。
性質 2-1
\[ m^\ast(\varnothing)=0 \]
證明：對於所有\(\epsilon>0\), \(a\in\mathbb{R}\)，都有\(\varnothing\subseteq(a-\epsilon,a+\epsilon)\)，故 \[ m^\ast(\varnothing)\leq 2\epsilon \] 這對任意小的\(\epsilon>0\)都成立，故\(m^\ast(\varnothing)=0\)。QED
性質 2-2：勒貝格外測度的單調性 (Monotonocity of Lebesgue Outer Measure)
給定集合\(A,B\subseteq\mathbb{R}\)。若\(A\subseteq B\)，則\(m^\ast(A)\leq m^\ast(B)\)。
證明：對於一個\(B\)的開區間覆蓋\(\{I_k\}_{k=1}^\infty\)，我們總是有 \[ A\subseteq B\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k \] 故由定義有 \[ m^\ast(A)\leq\sum_{k=1}^\infty|I_k| \] 故有 \[ m^\ast(A)\leq\inf\left\{\sum_{k=1}^\infty|I_k|\right\}=m^\ast(B) \] QED
性質 2-3：勒貝格外測度的次可加性 (Subadditivity of Lebesgue Outer Measure)
給定\(\mathbb{R}\)上的集族\(\{A_i\}_{i=1}^\infty\)且對於所有\(i\in\mathbb{N}\)都有\(m^\ast(A_i)<\infty\)，則我們有 \[ m^\ast\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\leq\sum_{i=1}^\infty m^\ast(A_i) \]
證明：給定\(\epsilon>0\)，對於\(i\in\mathbb{N}\)，由定義知可以選定\(A_i\)的開區間覆蓋\(\left\{I^i_k\right\}_{k=1}^\infty\)使得 \[ \sum_{k=1}^\infty\left|I_k^i\right|\leq m^\ast(A_i)+\frac{\epsilon}{2^i}, A_i\subseteq\bigcup_{k=1}^\infty I_k^i \] 故有 \[ \bigcup_{i=1}^\infty A_i\subseteq \bigcup_{i=1}^\infty\bigcup_{k=1}^\infty I_k^i \] 於是有 \[ \begin{aligned} m^\ast\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)&\leq\sum_{i=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\left|I_k^i\right|\\ &\leq\sum_{i=1}^\infty \left[m^\ast(A_i)+\frac{\epsilon}{2^i}\right]\\ &=\sum_{i=1}^\infty m^\ast(A_i)+\epsilon \end{aligned} \] 這對所有\(\epsilon>0\)都成立，故 \[ m^\ast\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\leq\sum_{i=1}^\infty m^\ast(A_i) \] QED
定義 2-4：\(\mathbb{R}^n\)上的勒貝格外測度 (Lebesgue Outer Measure on \(\mathbb{R}^n\))
在\(\mathbb{R}^2\)中，考慮如下圖1的開矩形\(R=(a,b)\times(c,d)\)，定義\(R\)的大小為 \[ |R|=(b-a)\cdot(d-c) \]
我們稱這樣的矩形為開矩形 (Open Rectangle)，我們即將\(A\subseteq\mathbb{R}^2\)的勒貝格外測度定義為 \[ m^\ast(A)=\inf\left\{\sum_{k=1}^\infty|R_k|:A\subseteq\bigcup_{k=1}^\infty R_k, R_k\mbox{ are open rectangles on }\mathbb{R}^2\right\} \] 類似的，我們可以定義\(\mathbb{R}^n\)上的「開矩形」的大小為 \[ B=\prod_{i=1}^n|b_i-a_i| \] 並可以類似的定義\(\mathbb{R}^n\)上的勒貝格外測度。於是，我們即定義了\(\mathbb{R}^n\)上的任何集合的勒貝格外測度。
定義 3：零集合 (Zero Set)
若一集合\(Z\subseteq\mathbb{R}^n\)滿足\(m^\ast(Z)=0\)，則稱\(Z\)是零集合。
性質 3-1
零集合的子集也是零集合。
證明：這可以直接由性質2-2得到。QED
性質 3-2
若集族\(\{A_i\}_{i=1}^\infty\)中都是零集合，則
\[
A=\bigcup_{i=1}^\infty A_i
\] 也是零集合。
證明：這可以直接由性質2-3得到。QED
例 3-3
給定\(a\in\mathbb{R}\)，令 \[
P_i(a)=\{(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},a,x_{i+1},\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n:x_j\in\mathbb{R},
\forall j\neq i\}\subseteq\mathbb{R}^n
\] 則\(P_i(a)\)是\(\mathbb{R}^n\)中的零集合。
證明：給定\(\epsilon>0\)，考慮\(\mathbb{R}^n\)上的開矩形 \[ R_k=(k,k+1)\times(k,k+1)\times\cdots\times(k,k+1)\times\underbrace{\left(a-\frac{\epsilon}{2^{|k|+1}},a+\frac{\epsilon}{2^{|k|+1}}\right)}_{\mbox{(★)}}\times(k,k+1)\times\cdots\times(k,k+1) \] 其中\(k\in\mathbb{Z}\)，且(★)是第\(i\)位。顯然有 \[ P_i(a)=\bigcup_{k=-\infty}^\infty R_k \] 故由定義有 \[ m^\ast(P_i(a))\leq\sum_{k=-\infty}^\infty |R_k|=\sum_{k=-\infty}^\infty\frac{\epsilon}{2^{|k|}}=3\epsilon \] 這對於任意小的\(\epsilon\)都成立，故\(P_i(a)\)是\(\mathbb{R}^n\)中的零集合。QED
例 3-4
有理數集\(\mathbb{Q}\)是\(\mathbb{R}\)中的零集合。
證明：由於\(\mathbb{Q}\)是可數集(見這裡的例2-3)，故我們可以將所有有理數進行編號，即 \[ \mathbb{Q}=\{q_1,q_2,q_3,\cdots\}=\{q_n\}_{n=1}^\infty \] 於是，對於\(\epsilon>0\)，可以考慮開區間 \[ I_n=\left(q_n-\frac{\epsilon}{2^{n+1}},q_n+\frac{\epsilon}{2^{n+1}}\right) \] 顯然有 \[ \mathbb{Q}\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty I_n \] 故由定義有 \[ m^\ast(\mathbb{Q})\leq\sum_{n=1}^\infty|I_n|=\sum_{n=1}^\infty\frac{\epsilon}{2^n}=\epsilon \] 這對任意小的\(\epsilon>0\)都成立，故\(\mathbb{Q}\)是\(\mathbb{R}\)中的零集合。QED
例 3-5：康托集 (Cantor Set)
考慮\(I_0=[0,1]\in\mathbb{R}\)。我們去掉該區間中間\(1/3\)的部分，即\((1/3,2/3)\)，我們就剩下 \[ I_1=\left[0,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},1\right] \] 再把\(I_1\)中兩個區間的中間\(1/3\)的部份去掉，我們就剩下 \[ I_2=\left[0,\frac{1}{9}\right]\cup\left[\frac{2}{9},\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\frac{7}{9}\right]\cup\left[\frac{8}{9},1\right] \] 如此重複無限多次，最後還留下來的點集我們稱作康托集，記做\(C\)。這個建構康托集的步驟可以參考下圖2。
顯然對於\(n\geq 0\)會有 \[ |I_n|=\frac{2^n}{3^n} \] 而對於所有\(n\geq 0\)都會有\(C\subseteq I_n\) i.e. \(m^\ast(C)\leq |I_n|\)，而\(n\)任意大時\((2/3)^n\)又可以任意小，故\(C\)是\(\mathbb{R}\)中的零集合。
定理 4
給定\(I=[a,b]\subseteq\mathbb{R}\)，則\(m^\ast(I)=b-a\)。
證明：給定\(\epsilon>0\)，考慮 \[
I\subseteq\left(a-\frac{\epsilon}{2},b+\frac{\epsilon}{2}\right)
\] 於是對於所有\(\epsilon>0\)有 \[
m^\ast(I)\leq b-a+\epsilon
\] 即\(m^\ast(I)\leq
b-a\)(☆)。又給定\([a,b]\)的任意開覆蓋\(\{I_k\}_{k=1}^\infty\)。由於\([a,b]\)是緊緻集，故存在有限子覆蓋\(\{I_i\}_{i=1}^k\)，即 \[
[a,b]\subseteq\bigcup_{i=1}^k I_i
\] 我們底下希望用數學歸納法證明\(\sum\limits_{i=1}^k|I_i|\geq b-a\)。
1.
\(k=1\)時，有某個區間\((a_1,b_1)\)蓋住\([a,b]\)，即\(a_1<a<b<b_1\)，故 \[
|I_1|=b_1-a_1>b-a
\]
2. 假設\(k=N\)時有\(\sum\limits_{i=1}^N|I_i|\geq
b-a\)，則當\(k=N+1\)時，考慮\(N+1\)個開區間 \[
I_1=(a_1,b_1),I_2=(a_2,b_2),\cdots,I_{N+1}=(a_{N+1},b_{N+1})
\] 並假設這些開區間覆蓋\([a,b]\)。則不失一般性，可以令\(a\in I_1\)，則\(a_1<a\)。底下分成兩種狀況：
(i)：若\(b_1\geq b\)，則\([a,b]\subseteq I_1\)，由第1.點知\(|I_1|=b_1-a_1\geq b-a\)。
(ii)：若\(b_1<b\)，則\(I_2,I_3,\cdots,I_{N+1}\)覆蓋\([b_1,b]\)。由歸納假設知 \[
\sum_{i=2}^{N+1}|I_i|\geq b-b_1
\] 故 \[
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{N+1}|I_i|&=|I_1|+\sum_{i=2}^\infty |I_i|\\
&\geq (b_1-a_1)+(b-b_1)\\
&=b-a_1\geq b-a
\end{aligned}
\] 故由數學歸納法可知我們總是有\(\sum\limits_{i=1}^k |I_i|\geq
b-a\)，於是有\(m^\ast(I)\geq
b-a\)。結合(☆)，我們即有\(m^\ast(I)=b-a\)。QED
推論 4-1
在\(\mathbb{R}\)上，任何以\(a,b\)兩點為端點的區間\(I\)都有\(m^\ast(I)=b-a\)。
證明：給定\(\epsilon>0\)，有 \[ [a+\epsilon,b-\epsilon]\subseteq I\subseteq[a-\epsilon,b+\epsilon] \] 故由性質2-2有 \[ m^\ast([a+\epsilon,b-\epsilon])\leq m^\ast(I)\leq m^\ast([a-\epsilon,b+\epsilon]) \] 而由定理4有 \[ (b-a)-2\epsilon\leq m^\ast(I)\leq (b-a)+2\epsilon \] 令\(\epsilon\to 0\)，即有\(m^\ast(I)=b-a\)。QED
定理 5
在\(\mathbb{R}^2\)上，令\(R=[a,b]\times[c,d]\)，則\(m^\ast(R)=(b-a)(d-c)\)。
證明：類似定理4，我們馬上可以知道對於所有\(\epsilon>0\)都有\(m^\ast(R)\leq(b-a)(d-c)+\epsilon\)，即
\[
m^\ast(R)\leq(b-a)(d-c)
\] 我們只要再證明\(m^\ast(R)\geq
(b-a)(d-c)\)就好。
令\(\{R_k\}_{k=1}^\infty\)是一串開矩形，滿足
\[
R\subseteq\bigcup_{k=1}^\infty R_k
\] 由於\(R\)是緊緻集，故其存在有限子覆蓋，即存在\(N\)使得 \[
R\subseteq \bigcup_{k=1}^N R_k
\] 令\(\lambda\)是\(\{R_k\}_{k=1}^N\)的勒貝格數(見這裡的引理9)，並令
\[
\{a=a_1,a_2,a_3,\cdots,a_s=b\}
\] 是\([a,b]\)的分割，且 \[
\{c=h_1,h_2,h_3,\cdots,h_m=d\}
\] 是\([c,d]\)的分割。並令\(S_{ij}=(a_{i-1},a_i)\times
(h_{j-1},h_j)\)。假設這個分割滿足對於所有\(i,j\)都有\(\mbox{diam}(S_{ij})<\lambda\) i.e. \[
\sup\{|x-y|:x,y\in S_{ij}\}<\lambda
\] 由勒貝格數的定義知存在某個\(k\)使得\(S_{ij}\subseteq R_k\)。而又有 \[
\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^m|S_{ij}|=(b-a)(d-c)
\] 且 \[
\sum_{S_{ij}\subseteq R_k}|S_{ij}|\leq |R_k|
\] 故 \[
\begin{aligned}
(b-a)(d-c)&=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^m|S_{ij}|\\
&=\sum_{k=1}^N\sum_{S_{ij}\subseteq R_k}|S_{ij}|\\
&\leq\sum_{k=1}^N|R_k|
\end{aligned}
\] 這對所有覆蓋\(R\)的\(\{R_k\}_{k=1}^N\)都成立，故\(m^\ast(R)\geq(b-a)(d-c)\)，故有\(m^\ast(R)=(b-a)(d-c)\)。QED
定義 6：勒貝格可測集 (Lebesgue Measurable Set)
給定一集\(A\subseteq\mathbb{R}^n\)，若對於所有集合\(X\subseteq\mathbb{R}^n\)都有 \[ m^\ast(X)=m^\ast(X\cap A)+m^\ast(X\backslash A) \] 則稱\(A\)是勒貝格可測集(見下圖4)。另外，我們記\(M(\mathbb{R}^n)\)為\(\mathbb{R}^n\)中所有勒貝格可測集的集合。
定義 6-1：勒貝格測度 (Lebesgue Measure)
若\(A\subseteq\mathbb{R}^n\)勒貝格可測，則定義其勒貝格測度為\(|A|=m^\ast(A)\)。
外測度
定義 7：外測度 (Outer Measure)
給定集合\(M\)，令\(2^M\)為\(M\)的冪集合(即\(M\)所有子集的集合)。考慮函數\(W:2^M\to[0,\infty]\)，若\(W\)滿足
1. \(W(\varnothing)=0\)
2. (單調性) 若\(A\subseteq B\)，則\(W(A)\leq W(B)\)。
3. (次可加性)
給定\(A_1,A_2,\cdots\subseteq M\)，有
\[
W\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\leq\sum_{i=1}^\infty W(A_i)
\] 則稱\(W\)是外測度。
定義 7-1：可測 (Measurable)
給定\(M\)上的外測度\(W\)與集合\(A\subseteq M\)。若對於所有\(X\subseteq M\)都有 \[ W(X)=W(X\cap A)+W(X\backslash A) \] 則稱\(A\)是\(W\)-可測的。
定義 8：\(\sigma\)-代數 (\(\sigma\)-Algebra)
給定集族\(M\)(即集合的集合)，若
1. \(\varnothing\in M\)
2.
給定\(E\in M\)，有\(E^c\in M\)
3. 給定\(E_1,E_2,\cdots\in M\)，有\(\bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i\in M\)
則稱\(M\)是\(\sigma\)-代數。
定理 9
給定外測度\(W\)，記所有\(W\)-可測的集合構成的集族為\(M\)，則\(M\)是\(\sigma\)-代數。
證明：我們一項一項檢查\(M\)是否滿足\(\sigma\)-代數的定義。
1.
我們想說明\(\varnothing\in
M\)。事實上，我們可以說明任何滿足\(W(Z)=0\)的集合\(Z\)都可測。給定一集\(X\)。首先由\(W\)的次可加性可知 \[
W(X)\leq W(X\cap Z)+W(X\backslash Z)
\] 又\(W(Z)=0\)，由\(W\)的單調性可知\(0=W(Z)\geq W(X\cap Z)\geq 0\) i.e. \(W(X\cap Z)=0\)及\(W(X)\geq W(X\backslash Z)\)。故 \[
W(X)\geq\underbrace{W(X\cap Z)}_{=0}+W(X\backslash Z)=W(X\backslash Z)
\] 於是有\(W(X)=W(X\cap
Z)+W(X\backslash Z)\)，意即任何零集合都是可測的。
2.
給定可測集\(A\)。由定義知對所有集合\(X\)有 \[
\begin{aligned}
W(X)&=W(X\cap A)+W(X\backslash A)\\
&=W(X\backslash(A^c))+W(X\cap(A^c))
\end{aligned}
\] 即\(A\)的補集\(A^c\)也是可測集。
3-1.
我們首先要說明若\(E_1,E_2\)可測，則\(E_1\backslash
E_2\)也可測。考慮①②③④如下圖5所示。
考慮②③④，由\(E_1\)可測知\(\mbox{②③④}=\mbox{②}+\mbox{③④}\)(這裡②③④是\(W(\mbox{②③④})\)的簡記，以此類推)。而由\(E_2\)可測知\(\mbox{③④}=\mbox{③}+\mbox{④}\)。故 \[
\mbox{①}+\mbox{②③④}=\mbox{①}+\mbox{②}+\mbox{③}+\mbox{④}
\] 同理， \[
\begin{aligned}
\mbox{①②③④}&=\mbox{①②}+\mbox{③④}\;\;(E_1\mbox{可測})\\
&=\mbox{①}+\mbox{②}+\mbox{③}+\mbox{④}
\end{aligned}
\] 於是有\(\mbox{①②③④}=\mbox{①}+\mbox{②③④}\)，即 \[
W(X)=W(X\cap(E_1\backslash E_2))+W(X\backslash(E_1\backslash E_2))
\] 即\(E_1\backslash
E_2\)是可測的(☆☆)。又 \[
(E_1\cup E_2)^c=E_1^c\cap E_2^c=E_1^c\backslash E_2
\] 由於\(E_1^c\)可測，故由上述知\(E_1^c\backslash E_2\)也是可測的。故\((E_1\cup E_2)^c\)可測，而由第2.點可知\(E_1\cup
E_2\)是可測的。而使用數學歸納法可知給定有限多個可測集\(E_1,E_2,\cdots,E_N\)，\(\bigcup\limits_{k=1}^N E_k\)也可測(★★)。
3-2. 接著我們想說明若\(\{E_i\}_{i=1}^\infty\)全部可測且互斥(即兩兩的交集都是空集)，則\(E=\bigcup\limits_{i=1}^\infty
E_i\)也可測。首先，若\(E_1,E_2\)可測且互斥，則由可測的定義知 \[
W(E_1\cup E_2)=W(E_1)+W(E_2)
\] 而給定\(k\in\mathbb{N}\)，由上述知\(F=\bigcup\limits_{i=1}^k
E_k\)可測。故對於任意集合\(X\)，有 \[
\begin{aligned}
W(X)&=W(X\cap F)+W(X\backslash F)\\
&\geq W(X\cap F)+W(X\backslash E)\;\;(F\subseteq E)\mbox{(☆)}
\end{aligned}
\] 又考慮\(E_1,E_2\)，因為\(E_1\)可測，故 \[
W(X\cap(E_1\cup E_2))=W(X\cap E_1)+W(X\cap E_2)
\] 而由數學歸納法可知 \[
W(X\cap F)=\sum_{i=1}^k W(X\cap E_i)
\] 故由(☆)可知對於任意\(k\in\mathbb{N}\)有 \[
W(X)\geq\sum_{i=1}^kW(X\cap E_i)+W(X\backslash E)
\] 於是， \[
W(X)\geq\sum_{i=1}^\infty W(X\cap E_i)+W(X\backslash E)
\] 而由\(W\)的次可加性知\(W(X)\leq\sum\limits_{i=1}^\infty W(X\cap
E_i)+W(X\backslash E)\)，故 \[
W(X)=\sum_{i=1}^\infty W(X\cap E_i)+W(X\backslash E)\mbox{(✪)}
\] 在上式中把\(X\)換成\(X\cap E\)，有 \[
\begin{aligned}
W(X\cap E)&=\sum_{i=1}^\infty W(\underbrace{(X\cap E)\cap
E_i}_{=W\cap E_i})+W(\underbrace{(X\cap E)\backslash
E}_{=\varnothing})\\
&=\sum_{i=1}^\infty W(X\cap E_i)
\end{aligned}
\] 結合(✪)，即有\(W(X)=W(X\cap
E)+W(X\backslash E)\) i.e. \(E\)是可測的。
3-3.今給定任意的可測集\(E_1,E_2,\cdots\)(不一定可測)，我們想說\(E=\bigcup\limits_{i=1}^\infty
E_i\)也是可測的。令 \[
\widetilde{E_i}=E_i\backslash(E_1\cup E_2\cup\cdots\cup E_{i-1})
\] 有\(E=\bigcup\limits_{i=1}^\infty\widetilde{E_i}\)。由定義可知\(\{\widetilde{E_i}\}_{i=1}^\infty\)全部互斥。而由(★★)知\(E_i\)和\(E_1\cup
E_2\cup\cdots E_{i-1}\)都可測，故由(☆☆)知\(\widetilde{E_i}=E_i\backslash(E_1\cup
E_2\cup\cdots\cup E_{i-1})\)也是可測的。於是由3-2可知\(E\)是可測的。
綜上1.~3.點所述，我們知道可測集族\(M\)是\(\sigma\)-代數。QED
單調連續性
定義 10
(I)給定集族\(E_1,E_2,\cdots\)，若\(E_1\subseteq E_2\subseteq
E_3\cdots\)且\(E=\bigcup\limits_{i=1}^\infty
E_i\)，則記\(E_k\nearrow E\)。
(II)給定集族\(E_1,E_2,\cdots\)，若\(E_1\supseteq E_2\supseteq
E_3\cdots\)且\(E=\bigcap\limits_{i=1}^\infty
E_i\)，則記\(E_k\searrow
E\)。
定理 11：單調連續性 (Monotone Continuity)
給定外測度\(W\)，則：
(I)給定集族\(E_1,E_2,\cdots\)，若\(E_k\nearrow E\)，則\(W(E_k)\)單調遞增到\(W(E)\)。
(II)給定集族\(E_1,E_2,\cdots\)，若\(E_k\searrow E\)且存在某個\(k_0\in\mathbb{N}\)滿足\(W(E_{k_0})<+\infty\)，則\(W(E_k)\)單調遞減到\(W(E)\)。
證明：(I)考慮\(\widetilde{E_1}=E_1\). \(\widetilde{E_k}=E+k\backslash E_{k-1}\)，則\(E=\bigcup\limits_{i=1}^\infty\widetilde{E_i}\)(見下圖6)。
由上(✪)知\(W(E)=\sum\limits_{i=1}^\infty
W(\widetilde{E_i})\)，即\(k\)趨近無限大時，部分和\(\sum\limits_{i=1}^k
W(\widetilde{E_i})\)單調遞增至\(W(E)\)。又\(W(E_k)=\sum\limits_{i=1}^k
W(\widetilde{E_i})\)，故可知\(W(E_k)\)單調遞增至\(W(E)\)。
(II)不失一般性，假設\(W(E_1)<+\infty\)。我們可以把\(E_1\)寫成\(E_1=\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty\widetilde{E_i}\right)\cup
E\)，其中\(\widetilde{E_i}=E_i\backslash
E_{i+1}\)(見下圖7)。
由上(✪)知\(W(E_1)=\sum\limits_{i=1}^\infty W(\widetilde{E_i})+W(E)\)。而由\(W(E_1)<+\infty\)知\(\sum\limits_{i=1}^\infty W(\widetilde{E_i})<+\infty\)。故知\(k\)趨近無限大時，\(\sum\limits_{i=k}^\infty W(\widetilde{E_i})\)單調遞減至\(0\)。但 \[ W(E_k)=\underbrace{\sum_{i=k}^\infty W(\widetilde{E_i})}_{\to 0}+W(E) \] 故可知\(W(E_k)\)單調遞減至\(W(E)\)。QED