這份筆記是關於阿爾澤拉-阿斯科利定理的證明。
阿爾澤拉-阿斯科利定理
定義 1：等度連續 (Equicontinuous)
給定函數序列\(\{f_k:X\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}\}_{k=1}^\infty\)。若對於所有\(\epsilon>0\)都存在\(\delta>0\)使得對於所有\(k\in\mathbb{N}\)和滿足\(|x_1-x_2|<\delta\)的\(x_1,x_2\in X\)都有\(|f_k(x_1)-f_k(x_2)|<\epsilon\)，則我們稱\(\{f_k\}\)在\(X\)上等度連續。
定義 2：一致有界 (Uniformly Bounded)
給定函數序列\(\{f_k:X\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}\}_{k=1}^\infty\)。若存在\(M>0\)使得對於所有\(k\in\mathbb{N}\)與\(x\in X\)有\(|f_k(x)|<M\)，則稱\(\{f_k\}\)是一致有界的。
定理 3：阿爾澤拉-阿斯科利定理 (Arzelà–Ascoli Theorem)
給定函數序列\(\{f_k:[a,b]\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}\}_{k=1}^\infty\)，若\(\{f_k\}\)在\([a,b]\)上一致有界且等度連續，則\(\{f_n\}\)有在\([a,b]\)上一致收斂的子序列。
證明：由於\(\mathbb{Q}\)可數(見這裡的例2-3)，故可以將\([a,b]\)中的所有有理數排列成數列\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\)。由於\(\{f_k\}\)一致有界，故點集\(\{f_k(x_1)\}_{k=1}^\infty\)有界。故由這裡的定理13知應存在子序列\(\{f^1_k\}_{k_1\in\mathbb{N}}\)使得\(\{f^1_k(x_1)\}\)收斂。同理\(\{f^1_k\}\)應存在子序列\(\{f^2_k\}_{k\in\mathbb{N}}\)使得\(\{f^2_k(x_2)\}\)收斂。
如此迴環往復，可以造出一串序列 \[
\{f^1_k\}\supseteq\{f^2_k\}\supseteq\{f^3_k\}\supseteq\cdots
\] 且給定\(n\in\mathbb{N}\)，我們知道對於所有\(1\leq i\leq n\)，點列\(\{f^n_k(x_i)\}\)都收斂。我們接著考慮\(\{f_k\}\)的子序列\(\{f^m_m\}_{m=1}^\infty\)，易知\(\{f^m_m\}\)在所有有理數上都收斂。
接著，給定\(\epsilon>0\)及有理數\(x_k\in[a,b]\)，應存在\(N\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(n,m>N\)都有 \[
\left|f^n_n(x_k)-f^m_m(x_k)\right|<\frac{\epsilon}{3}\mbox{ (☆)}
\] 而由於\(\{f^m_m\}\)是等度連續的，故應存在\(\delta>0\)使得對於所有\(m\in\mathbb{N}\)和所有滿足\(|x-y|<\delta\)的\(x,y\in[a,b]\)都有 \[
|f^m_m(x)-f^m_m(y)|<\frac{\epsilon}{3}\mbox{ (★)}
\] 最後，我們知道 \[
[a,b]\subseteq\bigcup_{x\in[a,b]}B_\delta(x)
\] 是\([a,b]\)的開覆蓋。由於\([a,b]\)是緊緻集，故其應存在有限子覆蓋。令此覆蓋為
\[
\{B_\delta(y_1),B_\delta(y_2),\cdots,B_\delta(y_J)\}
\] 其中\(y_1,y_2,\cdots,y_J\in[a,b]\)。對於所有\(1\leq j\leq J\)，都應存在某個有理數\(x_{k_j}\in B_\delta(y_j)\)。於是，對於\(t\in[a,b]\)，應存在某個\(j\)使得\(t\in
B_\delta(y_j)\)，於是 \[
\begin{aligned}
|f_n^n(t)-f_m^m(t)|&\leq|f_n^n(t)-f_n^n(x_{k_j})|+|f_n^n(x_{k_j})-f_m^m(x_{k_j})|+|f_m^m(x_{k_j})-f_m^m(t)|\\
&<\underbrace{\frac{\epsilon}{3}}_{\mbox{(★)}}+\underbrace{\frac{\epsilon}{3}}_{\mbox{(☆)}}+\underbrace{\frac{\epsilon}{3}}_{\mbox{(★)}}\\
&=\epsilon
\end{aligned}
\] 這對夠大的\(n,m\)都成立，故\(\{f_m^m\}\)是一致收斂的。QED
