這份筆記是關於微分的定義與性質。
可微
定義 1：大O函數 (Big-O Function)
若函數\(k(h)\)滿足 \[ \lim_{|h|\to 0}\frac{|k(h)|}{|h|}=\alpha<\infty \] 且\(\alpha>0\)，則記\(k(h)=O(h)\)。
例 1-1
考慮函數\(k(h)=2|h|\)，我們有 \[ \lim_{|h|\to 0}\frac{|k(h)|}{|h|}=2<\infty \] 故有\(k(h)=O(h)\)。
定義 2：小o函數 (Small-o Function)
若函數\(g(h)\)滿足 \[ \lim_{|h|\to 0}\frac{|g(h)|}{|h|}=0 \] 則記\(g(h)=o(h)\)。
例 2-1
對於\(\epsilon>0\)，考慮函數\(g(h)=|h|^{1+\epsilon}\)。則 \[ \lim_{|h|\to 0}\frac{|g(h)|}{|h|}=\lim_{|h|\to 0}|h|^\epsilon=0 \] 故有\(g(h)=o(h)\)。
定義 3：可微 (Differentiable)
考慮函數\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)。對於\(x=x_0\in\mathbb{R}\)，若存在\(A\in\mathbb{R}\)使得 \[ f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(h) \] 則稱\(f\)在\(x=x_0\)可微。
定義 3-1：導數 (Derivative)
我們稱定義3中的\(A\)為\(f\)在\(x=x_0\)的導數。
註記 3-2：可微的等價定義
考慮函數\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)，則\(f\)在\(x=x_0\)可微 iff. 極限 \[ \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \] 存在。且\(f\)在\(x_0\)的導數即為 \[ f'(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \]
證明：我們分兩個部分證明。
「\(\Rightarrow\)」：若有\(f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(h)\)，則 \[
\begin{aligned}
\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}&=\lim_{h\to
0}\left(A+\frac{o(h)}{h}\right)\\
&=A+\lim_{h\to 0}\frac{o(h)}{h}=A
\end{aligned}
\] 即所求的極限存在且\(A=f'(x_0)\)。
「\(\Leftarrow\)」：若極限 \[
\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
\] 存在，則令該極限為\(A\)。我們有 \[
\begin{aligned}
f(x_0+h)&=f(x_0)+\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\cdot h\\
&=f(x_0)+Ah+\left(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-A\right)\cdot h
\end{aligned}
\] 我們令 \[
g(h)=\left(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-A\right)\cdot h
\] 則 \[
\begin{aligned}
\lim_{h\to 0}\frac{g(h)}{h}&=\lim_{h\to
0}\left(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-A\right)\\
&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-\lim_{h\to
0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=0
\end{aligned}
\] 故有\(g(h)=o(h)\)，即有\(f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(h)\)。QED
註記 4
考慮函數\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)，若\(f\)在\(x_0\)可微，則\(f\)在\(x_0\)連續。
證明：若\(f\)不在\(x_0\)連續，則極限 \[ \lim_{h\to 0}f(x_0+h)-f(x_0) \] 不等於零(或可能根本不存在)，如此極限 \[ \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \] 就勢必不會存在，這與\(f\)在\(x_0\)可微的假設矛盾。故\(f\)應在\(x_0\)連續。QED
鏈鎖律
定理 4：鏈鎖律 (Chain Rule)
給定可微函數\(g,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)，且\(f\)的定義域包含\(g\)的值域，則 \[ [f(g(x))]'=g'(x)f'(g(x)) \]
證明1：對於\(x=x_0\)，我們有 \[ \lim_{h\to 0}\frac{f(g(x_0+h))-f(g(x_0))}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x_0+h))-f(g(x_0))}{g(x_0+h)-g(x_0)}\times\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h} \] 由於\(g\)在\(x_0\)可微，故由註記4知\(g\)在\(x_0\)連續。故 \[ \lim_{h\to 0}\frac{f(g(x_0+h))-f(g(x_0))}{g(x_0+h)-g(x_0)}=\lim_{g(x_0+h)-g(x_0)\to 0}\frac{f(g(x_0+h))-f(g(x_0))}{g(x_0+h)-g(x_0)} \] 令\(\delta=g(x_0+h)-g(x_0)\)，就有 \[ \lim_{g(x_0+h)-g(x_0)\to 0}\frac{f(g(x_0+h))-f(g(x_0))}{g(x_0+h)-g(x_0)}=\lim_{\delta\to 0}\frac{f(g(x_0)+\delta)-f(g(x_0))}{\delta}=f'(g(x_0)) \] 然後又有 \[ \lim_{h\to 0}\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}=g'(x_0) \] 故有 \[ [f(g(x_0))]'=f'(g(x_0))g'(x_0) \] QED
證明2： 由於\(f,g\)都在\(x_0\)可微，故 \[ \begin{aligned} f(g(x_0+h))&=f(g(x_0)+(g(x_0+h)-g(x_0)))\\ &=f(g(x_0))+f'(g(x_0))(g(x_0+h)-g(x_0))+o(g(x_0+h)-g(x_0))\\ &=f(g(x_0))+f'(g(x_0))(g'(x_0)h+o(h))+o(g(x_0+h)-g(x_0))\\ &=f(g(x_0))+f'(g(x_0))g'(x_0)h+f'(g(x_0))h+o(g'(x_0)h+o(h)) \end{aligned} \] 又\(f'(g(x_0))\)是常數，故 \[ f'(g(x_0))o(h)=o(h) \] 且 \[ o(g'(x_0)h+o(h))=o(h) \] 故 \[ f(g(x_0+h))=f(g(x_0))+f'(g(x_0))g'(x_0)h+o(h) \] 意即 \[ [f(g(x_0))]'=f'(g(x_0))g'(x_0) \] QED