這份筆記是關於連續函數的性質與其應用。
連續函數
定義 1：前像 (Pre-image)
給定函數\(f:\Omega_1\to\Omega_2\)，對於集合\(B\subseteq\Omega_2\)，我們稱 \[ f^{-1}(B)=\{x\in\Omega_1:f(x)\in B\}\subseteq\Omega_1 \] 為\(B\)的前像。
定義 2：連續函數 (Continuous Function)
給定空間\(\Omega_1\)和\(\Omega_2\)，其中\(\Omega_1\)上有範數\(\|\cdot\|_1\)，\(\Omega_2\)上有範數\(\|\cdot\|_2\)。考慮函數\(f:\Omega_1\to\Omega_2\)。若對於所有開集\(B\subseteq\Omega_2\)都有\(f^{-1}(B)\subseteq\Omega_1\)也是開集，則稱\(f\)是連續函數。
定義 2-1：逐點連續 (Pointwise Continuous)
給定空間\(\Omega_1\)和\(\Omega_2\)，其中\(\Omega_1\)上有範數\(\|\cdot\|_1\)，\(\Omega_2\)上有範數\(\|\cdot\|_2\)。給定\(x_0\in\Omega_1\)，若對於所有\(\epsilon>0\)都存在\(\delta>0\)使得對於所有滿足\(\|x-x_0\|_1<\delta\)的\(x\in\Omega_1\)都有\(\|f(x)-f(x_0)\|_2<\epsilon\)，則稱\(f\)在點\(x_0\)連續。
註記 2-2：連續的等價定義I
給定空間\(\Omega_1\)和\(\Omega_2\)，其中\(\Omega_1\)上有範數\(\|\cdot\|_1\)，\(\Omega_2\)上有範數\(\|\cdot\|_2\)。給定函數\(f:X\subseteq\Omega_1\to\Omega_2\)，則\(f\)是連續函數(定義2) iff. \(f\)在所有點\(x\in
X\)上連續(定義2-1)。
證明：我們分兩部分證明。
「\(\Rightarrow\)」：若\(f\)在定義2下連續，則給定\(x_0\in X\)與\(\epsilon>0\)。考慮\(\Omega_2\)中的球 \[
B_\epsilon(f(x_0))=\{y\in\Omega_2:\|y-f(x_0)\|<\epsilon\}
\] 這是一個\(\Omega_2\)中的開集，故由定義知\(f^{-1}(B_\epsilon(f(x_0)))\)是\(\Omega_1\)中的開集。由於\(f(x_0)\in B_\epsilon(f(x_0))\)，故 \[
x_0\in f^{-1}(B_\epsilon(f(x_0)))
\] 而由\(f^{-1}(B_\epsilon(f(x_0)))\)是\(\Omega_1\)中的開集可知應存在\(\delta>0\)使得 \[
B_\delta(x_0)\subseteq f^{-1}(B_\epsilon(f(x_0)))
\] 意即對於所有滿足\(\|x-x_0\|_1<\delta\)的\(x\in X\)都有\(\|f(x)-f(x_0)\|_2<\epsilon\)，即\(f\)在點\(x_0\)上連續，而這對所有\(x_0\in X\)都成立。
「\(\Leftarrow\)」：若\(f\)在所有點\(x\in
X\)上連續(定義2-1)，則給定開集\(U\subseteq\Omega_2\)，考慮\(x\in f^{-1}(U)\)。由於\(f(x)\in U\)且\(U\)是開集，故應存在\(\epsilon>0\)使得 \[
B_\epsilon(f(x))\subseteq U
\] 另外，由逐點連續的定義知存在\(\delta>0\)使得 \[
f(B_\delta(x))\subseteq B_\epsilon(f(x))
\] 故有 \[
B_\delta(x)\subseteq f^{-1}(U)
\] 對於所有的\(x\in
f^{-1}(U)\)都可以找到這樣的\(\delta\)，故\(f\)在定義2下是連續函數。QED
註記 2-3：連續的等價定義II
給定空間\(\Omega_1\)和\(\Omega_2\)，其中\(\Omega_1\)上有範數\(\|\cdot\|_1\)，\(\Omega_2\)上有範數\(\|\cdot\|_2\)。給定函數\(f:X\subseteq\Omega_1\to\Omega_2\)，則\(f\)是連續函數 iff. 對於所有收斂到\(x\in X\)的數列\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\)都有 \[
\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)
\] (注意我們討論\(x_n\to
x\)時用的是\(\|\cdot\|_1\)，而討論\(f(x_n)\to f(x)\)時用的是\(\|\cdot\|_2\)。)
證明：我們分兩部分證明。
「\(\Rightarrow\)」：若\(f\)是連續函數，則由註記2-2知給定\(x\in X\)，對於所有\(\epsilon>0\)都存在\(\delta>0\)使得對於所有滿足\(\|y-x\|_1<\delta\)的\(y\in X\)都有\(\|f(y)-f(x)\|_2<\epsilon\)
(★)。接著，給定收斂到\(x\in
X\)的數列\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\)，我們知道存在\(N\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(n>N\)都有 \[
\|x_n-x\|_1<\delta
\] 結合(★)，我們知道對於\(n>N\)有 \[
\|f(x_n)-f(x)\|_2<\epsilon
\] 意即 \[
\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)
\]
「\(\Leftarrow\)」：給定\(x\in X\)，假設對於所有數列\(x_n\to x\)都有\(f(x_n)\to f(x)\)。假設\(f\)在\(x\)不連續，即存在\(\epsilon>0\)使得對於所有\(\delta>0\)都有 \[
\|f(y)-f(x)\|_2>\epsilon\mbox{ for some }\|y-x\|_1<\delta
\] 則對於\(\delta=1/n\)，我們可以記相應的\(y\)為\(x_n\)。於是我們有一個數列\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\)滿足 \[
\forall n, \|x_n-x\|_1<\frac{1}{n}, \|f(x_n)-f(x)\|_2>\epsilon
\] 即\(x_n\to x\)但\(f(x_n)\nrightarrow
f(x)\)，這與假設矛盾，故\(f\)應在\(x\)連續。QED
例 2-4
考慮\(X\)上的函數\(f(x)=x\)，其中\(X\)上的範數為\(\|\cdot\|\)。則給定\(x_0\in X\)，對於所有\(\epsilon>0\)，令\(\delta=\epsilon\)。當\(\|x-x_0\|<\delta\)時，有 \[ \|f(x)-f(x_0)\|=\|x-x_0\|<\delta=\epsilon \] 故可知\(f\)是連續函數。
例 2-5
考慮\(X\to\mathbb{R}\)的函數\(f(x)=\|x\|\)。則給定\(x_0\in X\)，對於所有\(\epsilon>0\)，令\(\delta=\epsilon\)。當\(\|x-x_0\|<\delta\)時，由三角不等式有 \[ \|f(x)-f(x_0)\|=\left|\|x\|-\|x_0\|\right|\leq\|x-x_0\|<\delta=\epsilon \] 故\(f\)是連續函數。
性質 2-6
考慮連續函數\(f:X\to Y\)。若\(K\)是\(X\)中的緊緻集，則\(f(K)\)是\(Y\)中的緊緻集。
證明：令\(\{U_j\}_{j\in I}\)是\(f(K)\)上的開覆蓋，由\(f\)的連續性知\(f^{-1}(U_j)\)是\(X\)中的開集。而 \[ f(K)\subseteq\bigcup_{j\in I}U_j \] 故有 \[ f^{-1}(f(K))\subseteq f^{-1}\left(\bigcup_{j\in I}U_j\right) \] 於是有 \[ K\subseteq f^{-1}(f(K))\subseteq \bigcup_{j\in I}f^{-1}(U_j) \] (前像的聯集是聯集的前像)。而\(K\)是緊緻集，\(\bigcup_{j\in I}f^{-1}(U_j)\)是其開覆蓋，故應存在有限集\(J\subseteq I\)使得 \[ K\subseteq\bigcup_{j\in J}f^{-1}(U_j) \] 故 \[ f(K)\subseteq \bigcup_{j\in J}f(f^{-1}(U_j))\subseteq\bigcup_{j\in J}U_j \] 故可知\(f(K)\)有有限子覆蓋 i.e. \(f(K)\)是緊緻集。QED
性質 2-7
考慮連續函數\(f:X\to Y\)與\(g:Y\to Z\)，則合成函數\(g(f(x))\)是\(X\to
Z\)的連續函數。
證明1：令\(B\subseteq Z\)是開集，考慮\([g(f)]^{-1}(B)=f^{-1}(g^{-1}(B))\)。因為\(B\)是開集且\(g\)連續，故由定義知\(g^{-1}(B)\subseteq Y\)是開集。而又由於\(f\)連續，故 \[ f^{-1}(g^{-1}(B))\subseteq X \] 也是開集，故函數\(g(f):X\to Z\)是連續函數。QED
證明2：給定\(x\in X\)，令\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\)是收斂到\(x\)的數列。考慮\(\{g(f(x_n))\}_{n=1}^\infty\)。由於\(f\)是連續函數，故\(\{f(x_n)\}_{n=1}^\infty\)是\(Y\)中的收斂數列且 \[
\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)
\] 又由於\(g\)是連續函數，故\(\{g(f(x_n))\}_{n=1}^\infty\)是\(Z\)中的收斂數列，且 \[
\lim_{n\to\infty}g(f(x_n))=g(f(x))
\] 故由定義知\(g(f):X\to
Z\)是連續的。QED
性質 2-8
若函數\(f,g:X\to Y\)都連續，則\(f\pm g\)也是連續函數。
證明：給定\(x\in X\)，令\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\)是\(X\)中收斂至\(x\)的數列。則 \[ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}(f\pm g)(x_n)&=\lim_{n\to\infty}(f(x_n)\pm g(x_n))\\ &=\lim_{n\to\infty}f(x_n)\pm\lim_{n\to\infty}g(x_n)\mbox{ (因為}f(x_n),g(x_n)\mbox{ 都收斂)}\\ &=f(x)\pm g(x)=(f\pm g)(x) \end{aligned} \] 故知\(f\pm g\)是連續函數。QED
性質 2-9
若函數\(f,g:X\to Y\)都連續，則\(fg\)也是連續函數。
證明：給定\(x\in X\)，令\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\)是\(X\)中收斂至\(x\)的數列。則有 \[ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}(fg)(x_n)&=\lim_{n\to\infty}(f(x_n)g(x_n))\\ &=\lim_{n\to\infty}f(x_n)\lim_{n\to\infty}g(x_n)\\ &=f(x)g(x)=(fg)(x) \end{aligned} \] 故知\(fg\)是連續函數。QED
性質 2-10
若函數\(f,g:X\to Y\)都連續，則\(f/g\)在\(g(x)\neq
0\)的地方也是連續函數。
(證明過程與性質2-9類似，在此略過。)
連通
定義 3：分割 (Seperate)
給定集合\(A\)，若存在開集\(B_1,B_2\)使得\(B_1\cap A\neq\varnothing\), \(B_2\cap A\neq\varnothing\), \(B_1\cap B_2=\varnothing\)且 \[ A=(B_1\cap A)\cup(B_2\cap A) \] 則稱\(B_1,B_2\)分割\(A\)。
定義 4：連通 (Connected)
給定集合\(A\)，若存在開集\(B_1,B_2\)分割\(A\)，則稱\(A\)是不連通的。否則，我們稱\(A\)是連通的。
定義 5：路徑連通 (Path Connected)
給定集合\(A\subseteq X\)。若對於所有\(x_1\neq x_2\in A\)都存在連續函數\(\gamma:[0,1]\to A\)使得\(\gamma(0)=x_1,\gamma(1)=x_2\)，則稱\(A\)是路徑連通的。
引理 6
閉區間\([0,1]\subseteq\mathbb{R}\)是連通的。
證明：假設存在開集\(B_1,B_2\)分割\([0,1]\)。不失一般性，假設\(1\in B_2\)。我們可以讓\(B_1\)有上界\(1\)，於是我們知道\(B_1\)有最小上界(見這裡的定理5)，且由\(B_1\cap[0,1]\neq\varnothing\)可知該最小上界應介於\([0,1]\)中，記其為\(s\)。
我們希望說明\(s\notin B_1\)且\(s\notin B_2\)。假設\(s\in B_1\)，由於\(B_1\)是開集，故存在\(\epsilon>0\)使得\(B_\epsilon(s)\subseteq B_1\)。於是，有\(s+\frac{\epsilon}{2}\in B_1\)且\(s<s+\frac{\epsilon}{2}\)，這與\(s\)是\(B_1\)上界的假設矛盾，故\(s\notin B_1\)。
接著，若有\(s\in B_2\)，則由於\(B_2\)是開集，故應存在\(\epsilon>0\)使得\(B_\epsilon(s)\subseteq B_2\)。這會導致\(s-\frac{\epsilon}{2}\in B_2\)，即\(s-\frac{\epsilon}{2}\notin
B_1\)。事實上，對於所有\(\delta<\frac{\epsilon}{2}\)都會有\(s-\delta\notin B_1\)，即 \[
\left(s-\frac{\epsilon}{2},s\right]\cap B_1=\varnothing
\] 這與這裡的註記3矛盾。故應有\(s\notin B_2\)。
於是，我們有\(s\notin B_1\cup B_2\)，但\(s\in [0,1]\)，這與\(B_1,B_2\)分割\([0,1]\)的假設矛盾，故\([0,1]\)應是連通的。QED
註記 7
若\(A\subseteq
X\)是路徑連通集，則\(A\)是連通集。
證明：假設存在開集\(B_1,B_2\)分割\(A\)。給定\(x_1\in B_1\cap A\), \(x_2\in B_2\cap A\)，由\(A\)是路徑連通知存在連續函數\(\gamma:[0,1]\to A\)滿足\(\gamma(0)=x_1\), \(\gamma(1)=x_2\)。由於\(A\subseteq B_1\cup B_2\)，故 \[ [0,1]\subseteq\gamma^{-1}(B_1)\cup\gamma^{-1}(B_2) \] 由於\(B_1,B_2\)都是開集且\(\gamma\)是連續函數，我們知道\(\gamma^{-1}(B_1)\)和\(\gamma^{-1}(B_2)\)也是開集。且由\(B_1\cap B_2=\varnothing\)知\(\gamma^{-1}(B_1)\cap\gamma^{-1}(B_2)=\varnothing\)，故知\(\gamma^{-1}(B_1)\)和\(\gamma^{-1}(B_2)\)分割\([0,1]\)。但由引理6我們知道\([0,1]\)是連通的，矛盾。故\(A\)應是連通的。QED
註記 8
給定連續函數\(f:X\to Y\)。若\(A\subseteq X\)是連通集，則\(f(A)\subseteq Y\)也是連通集。
證明：若\(f(A)\)不是連通集，則存在開集\(B_1,B_2\subseteq Y\)分割\(f(A)\)。則 \[ A\subseteq f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2) \] 由\(f\)連續可知\(f^{-1}(B_1)\)和\(f^{-1}(B_2)\)都是\(X\)中的開集。且由\(B_1\cap B_2=\varnothing\)可知\(f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)=\varnothing\)，故知\(f^{-1}(B_1)\)和\(f^{-1}(B_2)\)分割\(A\)。這與\(A\)是連通集的假設矛盾，故\(f(A)\)也應是連通集。QED
註記 9
給定連續函數\(f:X\to Y\)。若\(A\subseteq X\)是路徑連通集，則\(f(A)\subseteq Y\)也是路徑連通集。
證明：由\(A\)路徑連通可知對於所有\(x_1\neq x_2\in A\)都存在連續函數\(\gamma:[0,1]\to A\)滿足\(\gamma(0)=x_1\), \(\gamma(1)=x_2\)。則對於\(f(x_1),f(x_2)\in f(A)\)，有 \[ f(\gamma(0))=f(x_1), f(\gamma(1))=f(x_2) \] 由於\(f\)是連續函數，故由性質2-7知\(f(\gamma)\)也是連續函數，即\(f(A)\)是路徑連通的。QED
連續函數的性質
定理 10：中間值定理 (Intermediate Value Theorem)
給定連續函數\(f:X\to\mathbb{R}\)，其中\(X\)是度量空間，並給定\(X\)中的連通集\(A\)。若對於\(x_1,x_2\in A\)有\(f(x_1)<f(x_2)\)，則對於所有\(c\in(f(x_1),f(x_2))\)都存在\(x\in A\)使得\(f(x)=c\)。
證明：假設存在\(c\in(f(x_1),f(x_2))\)使得\(c\notin f(A)\)，則因為\(A\)連通，故由註記8知\(f(A)\)也連通。而由於\(f(x_1),f(x_2)\in f(A)\)且\(f(x_1)<c\)，故\(f(x_1)\in(-\infty,c)\)。同理有\(f(x_2)\in(c,\infty)\)。
接著，因為\(c\notin f(A)\)，故\(f(A)\subseteq(-\infty,c)\cup(c,\infty)\)。且
\[
\begin{aligned}
f(x_1)\in f(A)\cap(-\infty,c)&\Rightarrow
f(A)\cap(-\infty,c)\neq\varnothing\\
f(x_2)\in f(A)\cap(c,\infty)&\Rightarrow
f(A)\cap(c,\infty)\neq\varnothing
\end{aligned}
\] 故可知\((-\infty,c)\)和\((c,\infty)\)分割\(f(A)\) i.e. \(f(A)\)是不連通的，矛盾。故應有\(c\in f(A)\) i.e. 對於所有\(f(x_1)<c<f(x_2)\)都應存在\(x\in A\)使得\(f(x)=c\)。QED
定義 11：極大值與極小值 (Maximal Value and Minimal Value)
考慮函數\(f:X\to\mathbb{R}\)並給定集合\(A\subseteq X\)。若存在\(x_1\in A\)使得對於所有\(x\in A\)都有\(f(x)\leq f(x_1)\)，則稱\(f(x_1)\)為\(f\)在\(A\)上的極大值。
類似的若存在\(x_2\in A\)使得對於所有\(x\in A\)都有\(f(x)\geq f(x_2)\)，則稱\(f(x_2)\)為\(f\)在\(A\)上的極小值。
定義 11-1：極大值點與極小值點 (Maximal Point and Minimal Point)
定義11中的\(x_1\)和\(x_2\)分別稱為\(f\)在\(A\)上的極大值點與極小值點。
定理 12
考慮連續函數\(f:X\to\mathbb{R}\)，並給定緊緻集\(A\subseteq X\)，則\(f\)在\(A\)上存在極小值點與極大值點。
證明：由性質2-6知\(f(A)\)也是緊緻集。由波雷爾-海涅定理(這裡的定理14)可知\(f(A)\)應是\(\mathbb{R}\)中的有界閉集。由這裡的定理5可知存在\(m,M\in\mathbb{R}\)使得 \[ m=\inf_{y\in A}f(y), M=\sup_{y\in A}f(y) \] 這表示對於所有\(y\in A\)有\(m\leq f(y)\)且對於所有\(\epsilon>0\)都存在\(z\in A\)使得\(f(z)<m+\epsilon\)。對於\(n\in\mathbb{N}\)，令\(\epsilon=\frac{1}{n}\)，則總是存在\(z_n\)使得 \[ m\leq f(z_n)<m+\frac{1}{n} \] 考慮數列\(\{z_n\}\)，可以知道 \[ \lim_{n\to\infty}f(z_n)=m \] 且由於\(A\)是緊緻的，故由波爾札諾 - 魏爾斯特拉斯定理(這裡的定理13)知\(A\)是序列緊緻的。故存在\(\{z_n\}\)的子序列\(\{z_{n_j}\}_{j=1}^\infty\)使得 \[ \lim_{j\to\infty}z_{n_j}=z\in A \] 又由於\(f\)是連續的，故由註記2-3知 \[ f(z)=\lim_{j\to\infty}f(z_{n_j})=m \] 而由\(f(A)\)是緊緻集(i.e.序列緊緻集)知\(m\in A\)，故\(A\)存在極小值與極小值點。同理\(A\)有存在極大值與極大值點。QED
均勻連續
定義 13：均勻連續 (Uniformly Continuous)
給定函數\(f:A\subseteq\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}\)。若對於所有\(\epsilon>0\)都存在\(\delta>0\)使得對於所有滿足\(\|x-y\|<\delta\)的\(x,y\in A\)都有\(|f(x)-f(y)|<\delta\)，則稱\(f\)在\(A\)上均勻連續。
定理 14
給定連續函數\(f:A\subseteq\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}\)，其中\(A\)是緊緻集，則\(f\)在\(A\)上均勻連續。
證明：給定\(\epsilon>0\)，考慮\(A\)中的每一點\(x\in A\)。由於\(f\)連續，故可以找到\(\delta_x\)使得當\(|y-x|<\delta_x\)時有 \[ |f(y)-f(x)|<\frac{\epsilon}{2}\mbox{ (☆)} \] 接著我們知道 \[ A\subseteq\bigcup_{x\in A}B_{\frac{\delta_x}{4}}(x) \] 是\(A\)的開覆蓋。由於\(A\)是緊緻集，故存在有限集\(\{x_j\}_{j=1}^m\subseteq A\)使得 \[ A\subseteq\bigcup_{j=1}^m B_{\frac{\delta_{x_j}}{4}}(x_j) \] 於是，可以令 \[ \delta=\min_{1\leq j\leq m}\left\{\frac{1}{4}\delta_{x_j}\right\} \] 則對於所有\(x,y\in A\)，若有\(\|x-y\|<\delta\)，可知存在\(1\leq j\leq m\)使得\(x\in B_{\frac{\delta_{x_j}}{4}}(x_j)\)且 \[ \|x-y\|<\delta\leq\frac{\delta_{x_j}}{4} \] 即有\(y\in B_{\frac{\delta_{x_j}}{2}}(x_j)\)。於是，由於\(\|x-x_j\|<\delta_{x_j}\)且\(\|x_j-y\|<\delta_{x_j}\)，故由(☆)有 \[ \begin{aligned} |f(x)-f(y)|&\leq|f(x)-f(x_j)|+|f(x_j)-f(y)|\\ &<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}\\ &=\epsilon \end{aligned} \] 於是可知\(f\)在\(A\)上均勻連續。QED