分析導論：拓樸

這份筆記是關於拓樸的基本概念與工具。

度量與範數

定義 1：度量 (Metric)

給定映射\(d:S\times S\to\mathbb{R}\)，若\(d\)滿足以下四點，則我們稱\(d\)為\(S\)上的度量(或稱距離 (Distance))。
1. 對於所有\(x,y\in S\)，有\(d(x,y)\geq 0\)。
2. 對於所有\(x\in S\)，有\(d(x,x)=0\)。
3. 對於所有\(x,y\in S\)，有\(d(x,y)=d(y,x)\)。
4. (三角不等式) 對於所有\(x,y,z\in S\)，有 \[ d(x,z)\geq d(x,y)+d(y,z) \]

例 1-1：歐幾里得距離 (Euclidean Distance)

對於\(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n), y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)\in\mathbb{R}^n\)，我們令 \[ d=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2} \] 可以檢驗\(d\)是\(\mathbb{R}^n\)中的度量，我們稱其為歐幾里得距離。

圖1 Euclid

例 1-2

對於\(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n), y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)\in\mathbb{R}^n\)，我們令 \[ d=\sqrt[4]{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^4} \] 可以檢驗\(d\)是\(\mathbb{R}^n\)中的度量。

例 1-3

若\(d\)是集合\(S\subseteq\mathbb{R}^n\)上的度量，則可以檢驗對於\(\lambda>0\)，\(\overline{d}=\lambda d\)也是\(\mathbb{R}^n\)上的度量。

例 1-4

若\(d\)是集合\(S\subseteq\mathbb{R}^n\)上的度量，則可以檢驗 \[ \tilde{d}=\frac{1+d}{d} \] 也是\(\mathbb{R}^n\)上的測度。

定義 2：範數 (Norm)

考慮\(\mathbb{R}\)上的向量空間\(S\subseteq\mathbb{R}^n\)，並考慮\(S\)上的度量\(d\)。若對於所有\(x,y\in S,\alpha\in\mathbb{R}\)有 \[ d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha|d(x,y) \] 則稱\(d\)為\(S\)上的範數。

定義 2-1：賦範線性空間 (Normed Linear Space)

我們稱定義2中的\((S,d)\)為賦範線性空間。

例 2-2：離散距離 (Discrete Distance)

令\(S=\mathbb{R}^2\)，並定義其上的離散距離為 \[ d(x,y)=\left\{ \begin{aligned} 0&,\mbox{ if }x\neq y\\ 1&,\mbox{ if }x=y \end{aligned} \right.\;\;\;,x,y\in\mathbb{R}^2 \] 可以很容易發現\(d\)雖然在\(S\)上是度量但不是一個範數。

例 2-3

可以檢驗例1-1中的歐幾里得距離就是\(S\)上的範數。

例 2-4：1-範數 (One-Norm)

對於\(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n), y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)\in\mathbb{R}^n\)，我們定義\(\mathbb{R}^n\)上的\(1\)-範數為 \[ d_1(x,y)=\sum_{i=1}^n|x_i-y_i| \] 可以檢驗\(d_1\)是一個\(\mathbb{R}^n\)上的範數。

例 2-4：無窮範數 (Infinite-Norm)

對於\(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n), y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)\in\mathbb{R}^n\)，我們定義\(\mathbb{R}^n\)上的無窮範數為 \[ d_\infty(x,y)=\max_{1\leq i\leq n}|x_i-y_i| \] 可以檢驗\(d_\infty\)是一個\(\mathbb{R}^n\)上的範數。

例 2-5：p-範數 (p-Norm)

對於\(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n), y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)\in\mathbb{R}^n\)，\(p>1\)，我們定義\(\mathbb{R}^n\)上的\(p\)-範數為 \[ d_p(x,y)=\left(\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p\right)^{1/p} \] 可以檢驗\(d_p\)是一個\(\mathbb{R}^n\)上的範數。

註記 2-5-1

之所以要\(d_\infty\)稱為無限範數是因為\(p\)-範數中當\(p\)趨近無限大時有\(d_p(x,y)\to d_\infty(x,y)\)。細節在此就略過了。

定義 2-5-2

在\(p\)範數中通常會記 \[ \|a\|_p=d_p(a,0) \] 更一般的，對於範數\(d\)，通常我們會記\(\|a\|=d(a,0)\)。

開集與閉集

定義 3：球 (Ball)

給定\(x\in\mathbb{R}^n\)並給定\(\mathbb{R}^n\)上的度量\(d\)，我們定義以\(x\)為中心、\(\epsilon>0\)為半徑的球為 \[ B_\epsilon(x)=\{y\in\mathbb{R}^n:d(y,x)<\epsilon\} \]

定義 4：開集 (Open Set)

給定集合\(A\subseteq\mathbb{R}^n\)。若對於所有\(x\in A\)都存在\(\epsilon>0\)使得\(B_\epsilon(x)\subseteq A\)，則稱\(A\)是開集。

性質 4-1

任意多個(包含無限多個)開集的聯集還是開集。

證明：對於\(i\in I\)，令\(A_i\)為開集並令 \[ A=\bigcup_{i\in I}A_i \] 對於任意\(x\in A\)，應有\(i\in I\)使得\(x\in A_i\)。由於\(A_i\)是開集，故應存在\(\epsilon>0\)使得\(B_\epsilon(x)\subseteq A_i\subseteq A\)。於是可知\(A\)亦是開集。QED

性質 4-2

有限多個開集的聯集還是開集。

證明：對於\(1\leq i\leq n\)，令\(A_i\)為開集並令 \[ A=\bigcap_{i=1}^n A_i \] 則對於\(x\in A\)，應對於所有\(1\leq i\leq n\)都有\(x\in A_i\)。由於\(A_i\)是開集，故應存在\(\epsilon_i>0\)使得\(B_{\epsilon_i}(x)\subseteq A_i\)。接著令 \[ \epsilon=\min\{\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n\} \] 則對於所有\(1\leq i\leq n\)都應有\(B_\epsilon(x)\subseteq B_{\epsilon_i}(x)\subseteq A_i\)，故有\(B_\epsilon(x)\subseteq A\)。對於所有\(x\in A\)都可以找到這樣的\(\epsilon>0\)，故\(A\)是開集。QED

例 4-3

對於任意\(x\in\mathbb{R}^n\)，\(\epsilon>0\)，球\(B_\epsilon(x)\)都是\(\mathbb{R}^n\)中的開集。

證明：對於任意\(y\in B_\epsilon(x)\)，令 \[ r=\frac{1}{2}\min\{\|x-y\|,\epsilon-\|x-y\|\} \] 其中\(\|x-y\|=d(x,y)\)是給定的範數。則由下圖2可知\(B_r(y)\subseteq B_\epsilon(x)\)，即\(B_\epsilon(x)\)是開集。QED

圖2

例 4-4

無限多個開集的聯集不一定是開集。在\(\mathbb{R}\)上考慮 \[ A_n=B_{1/n}(0)=\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \] 由例4-3知\(A_n\)都是開集。但 \[ \bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{0\} \] 可以發現這顯然不是開集。

例 4-5

在\(\mathbb{R}^n\)上給定範數\(\|a\|=d(a,0)\)，並考慮 \[ A=\{y\in\mathbb{R}^n:0<\|y\|<1\} \] (即去掉球心的單位球)則對於所有\(z\in A\)，令 \[ r=\frac{1}{2}\min\{\|z\|,1-\|z\|\} \] 類似例4-3可以發現\(B_r(z)\subseteq A\)，即\(A\)是開集。

性質 4-6

由定義可以知道空集合與宇集合都應該是開集。

定義 5：閉集 (Closed Set)

給定宇集合\(\Omega\)與集合\(B\subseteq\Omega\)。若\(\Omega/B\)是開集，則說\(B\)是閉集。

性質 5-1

由定義與性質4-6可知宇集合與空集合都應是閉集。

性質 5-2

任意多個(包含無限多個)閉集的交集還是閉集。

證明：對性質4-1的證明過程取與宇集合的差集即可。QED

性質 5-3

有限多個閉集的聯集還是閉集。

證明：對性質4-2的證明過程取與宇集合的差集即可。QED

內點與邊界

定義 6：內點 (Interior Point)

給定集合\(A\subseteq\mathbb{R}^n\)，若對於\(x\in A\)，存在開集\(B\)使得\(x\in B\)且\(B\subseteq A\)，則稱\(x\)是\(A\)的內點。並且，我們將\(A\)所有內點的集合記為\(\mathring{A}\)。

定義 6-1：內部 (Interior)

定義6中的\(\mathring{A}\)一般稱為\(A\)的內部。

註記 6-2：內點的等價定義

由定義易知若\(x\)是\(A\)的內點若且唯若存在\(\epsilon>0\)使得\(B_\epsilon(x)\subseteq A\)。

註記 6-3

對於集合\(A\subseteq\mathbb{R}^n\)，由定義知\(\mathring{A}\)是所有\(A\)的開子集的聯集，即 \[ \mathring{A}=\bigcup_B(B\subseteq A, B\mbox{ is open.}) \]

例 6-4

令 \[ A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:|x|+|y|\leq 1\} \] 則 \[ \mathring{A}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:|x|+|y|<1\} \]

例 6-5

令 \[ A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq 1\} \] 則 \[ \mathring{A}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2<1\} \]

例 6-6

考慮例2-2中的離散距離\(d\)。令 \[ A=\{a\in\mathbb{Z}^2:d(a,\mathbb{O})\leq 1/2\} \] 其中\(\mathbb{O}=(0,0)\in\mathbb{Z}^2\)。很明顯的\(A=\{\mathbb{O}\}\)。而對於所有\(0<\epsilon<1\)，我們有 \[ B_\epsilon(\mathbb{O})=\{\mathbb{O}\} \] 即和\(\mathbb{O}\)小於\(1\)的點只有\(\mathbb{O}\)自己，其他點和\(\mathbb{O}\)的距離都是\(1\)。故\(A\)雖然只有一個點，但其亦是內點(見下圖3)。

圖3

例 6-7

一樣考慮例2-2中的離散距離\(d\)，令 \[ A=\{a\in\mathbb{Z}^2:d(a,\mathbb{O})\leq 1\} \] 則\(A=\mathbb{Z}^2\)。類似例6-6，若令\(\epsilon=\frac{1}{2}\)，則對於所有\(x\in\mathbb{Z}^2=A\)都有\(B_\epsilon(x)=\{x\}\)。即\(A=\mathbb{Z}^2\)中每個點都是內點。

定義 7：閉包 (Closure)

對於集合\(A\subseteq\mathbb{R}^n\)，定義\(A\)的閉包\(\overline{A}\)為所有包含\(A\)的閉集的交集，即 \[ \overline{A}=\bigcap_B(A\subseteq B, B\mbox{ is closed.}) \]

註記 7-1：閉包的等價定義

\(A\)的閉包\(\overline{A}\)即是包含\(A\)的最小閉集合(「最小」的意思就是所有包含\(A\)的閉集都應包含\(\overline{A}\))。

例 7-2

考慮\(\mathbb{R}^2\)中歐幾里得距離下的球 \[ B_1(0)=\{a\in\mathbb{R}^2:\|a\|<1\} \] 則\(\overline{B_1(0)}=\{a\in\mathbb{R}^2:\|a\|\leq 1\}\)。

證明：我們分兩部分說明。
1. 我們想說明\(\{a\in\mathbb{R}^2:\|a\|\leq 1\}\)是閉集。考慮其補集\(A=\{a\in\mathbb{R}^2:\|a\|>1\}\)。對於任意\(x\in A\)，令\(\|x\|=1+q\)，其中\(q>0\)。則令\(\epsilon=\frac{q}{2}\)，則由三角不等式知對於\(y\in B_\epsilon(x)\)有 \[ \|y\|\geq\|x\|+\|y-x\|\geq 1+q-\epsilon=1+\frac{q}{2} \] 故\(y\in A\) i.e. \(B_\epsilon(x)\subseteq A\)。於是，我們知道\(A\)是開集，故其補集\(\{a\in\mathbb{R}^2:\|a\|\leq 1\}\)應是閉集。
2. 我們想說明\(\{a\in\mathbb{R}^2:\|a\|\leq 1\}\)是所有包含\(B_1(0)\)的閉集中最小的。考慮任意一個閉集\(B\supseteq B_1(0)\)。我們知道\(\mathbb{R}/B\)應是開集，且 \[ \mathbb{R}^2/B\subseteq\mathbb{R}^2/B_1(0)=\{a\in\mathbb{R}^2:\|a\|\geq 1\} \] 假設\(\mathbb{R}^2/B\)中有點\(x\)滿足\(\|x\|=1\)，則由於這裡用的是歐幾里得距離，故對於所有\(\epsilon>0\)都會有\(y\in B_\epsilon(x)\)使得\(\|y\|\leq 1\)(可以用平面圖形去思考這件事)，矛盾。故應有 \[ \mathbb{R}^2/B\subseteq\{a\in\mathbb{R}^2:\|a\|>1\} \] 即\(B\supseteq\{a\in\mathbb{R}^2:\|a\|\leq 1\}\)。故可知\(\{a\in\mathbb{R}^2:\|a\|\leq 1\}\)是\(B_1(0)\)的閉包。QED

定義 8：邊界 (Boundary)

對於集合\(A\subseteq\mathbb{R}^n\)，令其補集為\(A^c\)，則定義\(A\)的邊界為 \[ \partial A=\overline{A}\cap\overline{A^c} \]

定義 8-1：邊界點 (Boundary Point)

在定義8中，若點\(x\)落在邊界\(\partial A\)中，則稱\(x\)為\(A\)的邊界點。

註記 8-2：邊界的等價定義

對於集合\(A\in\mathbb{R}^n\)，有\(\partial A=\overline{A}/\mathring{A}\)。

證明：我們有 \[ \begin{aligned} \partial A&=\overline{A}\cap\overline{A^c}\\ &=\overline{A}\cap\left(\bigcap_B(A^c\subseteq B, B\mbox{ is closed.})\right)\\ &=\overline{A}\cap\left(\bigcup_{B^c}(B^c\subseteq A,B\mbox{ is open.})\right)^c\;\;\mbox{(★)}\\ &=\overline{A}\cap(\mathring{A})^c\\ &=\overline{A}/\mathring{A} \end{aligned} \] 其中是笛摩根律，詳見這裡的定理5。QED

註記 8-3：邊界點的等價定義

對於集合\(A\in\mathbb{R}^n\)，點\(x\)是\(A\)的邊界點 iff. 對於所有\(\epsilon>0\)，都存在\(y\in A\)與\(z\in A^c\)滿足\(y\in B_\epsilon(x)\)和\(z\in B_\epsilon(x)\)。

證明：我們分成兩部分證明。
「\(\Rightarrow\)」：若\(x\in\partial A\)，則假設存在\(\epsilon>0\)使得\(B_\epsilon(x)\subseteq A\)。這會導致\(x\in\mathring{A}\)，這與註記8-2不符。而若存在\(\epsilon>0\)使得\(B_\epsilon(x)\subseteq A^c\)，則考慮集合 \[ B=\mathbb{R}^n/B_\epsilon(x) \] 由於\(B_\epsilon(x)\)是開集(例4-3)，故\(B\)應是閉集。而由\(B_\epsilon(x)\subseteq A^c\)知\(B\supseteq A\)，故由閉包的定義知\(x\notin\overline{A}\)，這與定義8不符。故對於所有\(\epsilon>0\)，\(B_\epsilon(x)\cap A\)和\(B_\epsilon(x)\cap A^c\)都不應是空集。
「\(\Leftarrow\)」：若對於所有\(\epsilon>0\)，都存在\(y\in A\)與\(z\in A^c\)滿足\(y\in B_\epsilon(x)\)和\(z\in B_\epsilon(x)\)，則首先就知道\(x\notin\mathring{A}\)，因為不存在\(\epsilon>0\)使得\(B_\epsilon(x)\subseteq A\)。接著，任意給定閉集\(B\supseteq A\)，若\(x\notin B\)，則\(x\in B^c\)。由於\(B^c\)是開集，故應存在\(\epsilon>0\)使得\(B_\epsilon(x)\subseteq B^c\)，這與假設矛盾。故應有\(x\in B\)。而由於閉集\(B\supseteq A\)是任意給定的，我們有\(x\in\overline{A}\)，即 \[ x\in\overline{A}/\mathring{A}=\partial A \] QED

密聚點

定義 9：密聚點 (Cluster Point)

給定集合\(A\subseteq\mathbb{R}^n\)，考慮點\(x\in\mathbb{R}^n\)，若對於所有\(\epsilon>0\)，集合\((B_\epsilon(x)\cap A)/\{x\}\)都非空，則稱\(x\)為\(A\)的密聚點(或稱為累積點 (Accumulation Point))。

定義 9-1：數列的邊界點 (Cluster Point of a Sequence)

考慮數列\(A=\{a_n\}_{n=1}^\infty\subseteq\mathbb{R}^N\)，考慮點\(x\in\mathbb{R}^N\)，若對於所有\(\epsilon>0\)，都存在\(\{a_n\}\)的子序列\(\{a_{n_j}\}_{j=1}^\infty\)使得\(\{a_{n_j}\}_{j=1}^\infty\subseteq B_\epsilon(x)\)，則稱\(x\)是數列\(A\)的密聚點(注意到這裡考慮的是\(x\)的鄰域而非去心鄰域)。

例 9-2

集合\(A\)的密聚點可以不落在\(A\)中。例如考慮\(A=(0,1)\subseteq\mathbb{R}\)。可以發現對於所有\(\epsilon>0\)都有 \[ (B_\epsilon(0)\cap A)/\{0\}=(-\epsilon,\epsilon)\cap(0,1)=(0,\epsilon)\neq\varnothing \] 即雖然\(0\notin A\)但\(0\)是\(A\)的密聚點。類似的，可以發現\(1\notin A\)也是\(A\)的密聚點。