這份筆記是關於實數的建構與性質。
極限
定義 1：序列的極限 (Limit of Sequence)
給定序列\(\{b_n\}_{n=1}^\infty\)，若對於所有\(\epsilon>0\)，都存在自然數\(N_0>0\)使得對於所有自然數\(n>N_0\)都有\(|b_n-L|<\epsilon\)，則我們稱\(\{b_n\}_{n=1}^\infty\)的極限是\(L\)，記做 \[ \lim_{n\to\infty}b_n=L \]
性質 1-1
給定有理數序列\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\)並令\(x\)為其極限。若\(x\in\mathbb{Q}\)，則存在\(M>0\)使得對於所有\(n\in\mathbb{N}\)有\(|x_n|<M\)。
證明：選定\(\epsilon=1\)，則由定義知存在\(N_0\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(n>N_0\)有\(|x_n-x|<\epsilon=1\)。故由三角不等式有 \[ |x_n|<|x|+1,\forall n>N_0 \] 令 \[ M=\max\{|x_1|+1,|x_2+1|,\cdots,|x_{N_0}|+1,|x|+1\} \] 即有\(|x_n|\leq M,\forall n\in\mathbb{N}\)。QED
性質 1-2
給定有理數序列\(\{x_n\}_{n=1}^\infty,\{y_n\}_{n=1}^\infty\)並令\(x,y\)為其極限。若\(x,y\in\mathbb{Q}\)，則
1. \(\lim\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n)=x+y\)
2. \(\lim\limits_{n\to\infty}x_ny_n=xy\)
證明：
1. 給定\(\epsilon>0\)，由定義知應存在\(N_1\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(n>N_1\)都有\(|x_n-x|<\epsilon/2\)。同理應存在\(N_2\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(n>N_2\)都有\(|y_n-y|<\epsilon/2\)。令\(N_0=\max\{N_1,N_2\}\)，則對於所有\(n>N_0\)，由三角不等式應有 \[
|(x_n+y_n)-(x+y)|<|x_n-x|+|y_n-y|=\epsilon
\] 即 \[
\lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=x+y
\] 2. 已知 \[
x_ny_n-xy=(x_n-x)y_n+(y_n-y)x
\] 故由三角不等式有 \[
\begin{aligned}
|x_ny_n-xy|&=|(x_n-x)y_n+(y_n-y)x|\\
&\leq|x_n-x||y_n|+|y_n-y||x|
\end{aligned}
\] 由性質1-1知應存在\(M>0\)使得對於所有\(n\in\mathbb{N}\)有\(|x_n|,|y_n|<M\)，且義肢我們應也可以有\(|x|,|y|<M\)。故有 \[
|x_ny_n-xy|\leq M(|x_n-x|+|y_n-y|)
\] 給定\(\epsilon>0\)，由於\(x_n\to x\), \(y_n\to y\)，故應存在\(N_1,N_2\in\mathbb{N}\)使得 \[
\begin{aligned}
\forall n>N_1&, |x_n-x|<\frac{\epsilon}{2M}\\
\forall n>N_2&, |y_n-y|<\frac{\epsilon}{2M}
\end{aligned}
\] 令\(N_0=\max\{N_1,N_2\}\)，則對於所有\(n>N_0\)有 \[
\begin{aligned}
|x_ny_n-xy|&\leq M|x_n-x|+M|y_n-y|\\
&<M\left(\frac{\epsilon}{2M}+\frac{\epsilon}{2M}\right)\\
&=\epsilon
\end{aligned}
\] 即 \[
\lim_{n\to\infty}x_ny_n=xy
\] QED
例 1-3
考慮數列 \[ x_1=1, x_2=\frac{2+x_1}{1+x_1}, x_3=\frac{2+x_2}{1+x_2},\cdots,x_{n+1}=\frac{2+x_n}{1+x_n},\cdots \] 假設\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n\)存在且\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x\in\mathbb{Q}\)，則由性質1-2知 \[ x=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+x_n}{1+x_n}=\frac{2+x}{1+x} \] 整理即得\(x^2=2\)。我們知道這樣的\(x\)並不是有理數。
柯西序列與實數
定義 2：柯西序列 (Cauchy Sequence)
給定序列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\subseteq\mathbb{Q}\)，若對於所有\(0<\epsilon\in\mathbb{Q}\)，都存在\(N_0\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(m,n>N_0\)都有\(|a_m-a_n|<\epsilon\)，則我們稱\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)是柯西序列。
定義 3：柯西序列的等價關係 (Equivalent Relation of Cauchy Sequences)
給定兩個有理柯西序列\(\{x_n\}_{n=1}^\infty, \{y_n\}_{n=1}^\infty\)，若 \[ \lim_{n\to\infty}|x_n-y_n|=0 \] 則我們稱\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\)和\(\{y_n\}_{n=1}^\infty\)等價，記做\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\sim\{y_n\}_{n=1}^\infty\)
註記 3-1
定義3中的\(\sim\)確實符合等價關係的定義。
證明：我們分三個部分檢查這件事。
1. 反身性：對於所有\(n\in\mathbb{N}\)，顯然有\(x_n-x_n=0\)，故 \[
\lim_{n\to\infty}|x_n-x_n|=0
\] 即\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\sim\{x_n\}_{n=1}^\infty\)。
2. 對稱性：若\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\sim\{y_n\}_{n=1}^\infty\)，則
\[
\lim_{n\to\infty}|x_n-y_n|=0=\lim_{n\to\infty}|y_n-x_n|
\] 即\(\{y_n\}_{n=1}^\infty\sim\{x_n\}_{n=1}^\infty\)。
3. 遞移性： 若\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\sim\{y_n\}_{n=1}^\infty\),
\(\{y_n\}_{n=1}^\infty\sim\{z_n\}_{n=1}^\infty\)，則
\[
\lim_{n\to\infty}|x_n-y_n|=\lim_{n\to\infty}|y_n-z_n|=0
\] 故由三角不等式有 \[
\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}|x_n-z_n|&=\lim_{n\to\infty}|x_n-y_n+y_n-z_n|\\
&\leq \lim_{n\to\infty}|x_n-y_n|+|y_n-z_n|\\
&=0
\end{aligned}
\] 但\(|x_n-z_n|\)應該要是正的，故 \[
\lim_{n\to\infty}|x_n-z_n|=0
\] 即\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\sim\{z_n\}_{n=1}^\infty\)。
由以上三點，可知定義3中的\(\sim\)確為一等價關係。QED
定義 4：實數 (Real Numbers)
令\(S\)為所有有理柯西序列的集合，我們將實數\(\mathbb{R}\)定義為\(S\)上所有等價類的集合，即\(\mathbb{R}=S/\sim\)。
定義 4-1：實數的加法 (Addition of Real Numbers)
我們將\(\mathbb{R}\)上的加法定義為 \[ [\{a_n\}]+[\{b_n\}]=[\{a_n+b_n\}] \]
定義 4-2：實數的乘法 (Multiplication of Real Numbers)
我們將\(\mathbb{R}\)上的乘法定義為 \[ [\{a_n\}]\times[\{b_n\}]=[\{a_nb_n\}] \]
註記 5
給定有理柯西序列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)，若\(\lim\limits_{n\to\infty}\neq
0\)，則存在\(\delta>0,
N_0\in\mathbb{N}\)使得底下兩點中有且僅有一點會發生：
1.
對於所有\(n>N_0\)，有\(a_n>\delta\)。
2. 對於所有\(n>N_0\)，有\(a_n<-\delta\)。
證明：我們使用反證法證明此命題，並分成以下兩部分：
1. 若對於所有\(\delta>0,
N_0\in\mathbb{N}\)都存在\(n>N_0\)使得\(-\delta<a_n<\delta\)，則由數列極限的定義知若\(\lim a_n\)存在則 \[
\lim_{n\to\infty}a_n=0
\] 這與假設矛盾。
2. 若對於所有\(\delta>0, N_0\in\mathbb{N}\)都存在\(m,n>N_0\)使得\(a_n>\delta, a_m<-\delta\)，則 \[
|a_n-a_m|=2\delta
\] 令\(\epsilon=\delta\)，則對於所有\(N_0\in\mathbb{N}\)都存在\(m,n>N_0\)使得\(|a_n-a_m|>\epsilon\)。這與\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)是柯西序列的假設矛盾。
綜上所述，可知命題中的兩點有且僅有一點會成立。QED
定義 6：實數的排序 (Ordering of Real Numbers)
對於\([\{a_n\}]\in\mathbb{R}\)，若存在\(\delta>0,N_0\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(n>N_0\)都有\(a_n>\delta\)，則說實數\([\{a_n\}]>0\)(這裡的\(0\)指的是\(0=[\{0\}_{n=1}^\infty]\in\mathbb{R}\))。而對於實數\([\{a_n\}],[\{b_n\}]\)，若\([\{a_n\}]-[\{b_n\}]>0\)，則稱\([\{a_n\}]>[\{b_n\}]\)。
註記 6-1
註記5說明這樣定義實數的排序是良好沒有問題的(即不會找到非零實數既不大於零也不小於零)。
註記 6-2
可以發現這樣定義的實數排序滿足遞移律，即給定實數\([\{a_n\}],[\{b_n\}],[\{c_n\}]\)，若\([\{a_n\}]>[\{b_n\}]\)且\([\{b_n\}]>[\{c_n\}]\)，則\([\{a_n\}]>[\{c_n\}]\)。
定義 7：有理數嵌入實數 (Embedding of Rational Numbers into Real Numbers)
對於\(q\in\mathbb{Q}\)，考慮映射\(\phi:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}\)，其中 \[ \phi(q)=[\{q\}_{n=1}^\infty]\in\mathbb{R} \] 類似這裡的性質19-1~19-3，可以證明\(\phi(\mathbb{Q})\)和\(\mathbb{Q}\)有相同的結構。
實數完備性
定義 8：完備 (Complete)
給定集合\(A\)，若\(A\)中的任何柯西序列都有極限且其極限落在\(A\)中，則稱\(A\)是完備的。
引理 9
給定有理柯西序列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)，則極限\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\)在\(\mathbb{R}\)中存在，且其極限為\([\{a_n\}_{n=1}^\infty]\in\mathbb{R}\)。
證明：因為我們是討論實數上的極限，所以在給定\(\epsilon>0\)的時候我們要給定的也必須是\(\epsilon=[\{\epsilon_n\}_{n=1}^\infty]\in\mathbb{R}\)，其中\(\epsilon_n\in\mathbb{Q}\)。由定義6知\(\epsilon>0\)的意思是存在\(0<\delta\in\mathbb{Q},N_1\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(n>N_1\)有\(\epsilon_n>\delta\)。並且嚴格上來說因為是考慮\(\mathbb{R}\)上的事情，故應用\(\overline{a_m}=\phi(a_m)\in\mathbb{R}\)取代\(a_m\in\mathbb{Q}\)。
接著，因為\(\{a_n\}\)是柯西序列，故應存在\(N_2\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(m,n>N_2\)有\(|a_m-a_n|<\delta\)。於是，對於\(m>N_2\)，有 \[
|\overline{a_m}-a|=[\{|a_k-a_m|\}_{k=1}^\infty]=[\{b_j\}_{j=1}^\infty]
\] 其中 \[
b_j=\left\{
\begin{aligned}
0&, j\leq N_2\\
|a_j-a_m|&, j>N_2
\end{aligned}
\right.
\] (去掉前面有限項不會改變柯西序列的等價性)，於是有 \[
[\{b_j\}_{j=1}^\infty]<\delta<\epsilon
\] 即對於所有\(m>N_2\)有\(|\overline{a_m}-a|<\epsilon\)，即 \[
\lim_{m\to\infty}\overline{a_m}=a
\] QED
定理 10
實數是完備的，即所有\(\mathbb{R}\)上的柯西序列都會在\(\mathbb{R}\)中有極限。
證明：考慮實數上的柯西序列\(\{A_k\}_{k=1}^\infty\subseteq\mathbb{R}\)，其中
\[
A_k=[\{a_j^k\}_{j=1}^\infty], a_j^k\in\mathbb{Q}
\] 給定\(\epsilon_1=\frac{1}{2}\)，由於\(\{A_k\}\)是柯西序列，故存在\(N_1\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(m,n>N_1\)有\(|A_m-A_n|<\epsilon_1\)。而又因為\(A_{N_1}\)是\(\mathbb{Q}\)中的柯西序列，故應存在\(M_1\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(m,n>M_1\)有\(\left|a_m^{N_1}-a_n^{N_1}\right|<\epsilon_1\)。
然後，令\(\epsilon_2=\frac{1}{2^2}\)，則同上所述應存在\(N_2>N_1\)使得對於所有\(m,n>N_2\)有\(|A_m-A_n|<\epsilon_2\)，且也應存在\(M_2>M_1\)使得對於所有\(m,n>M_2\)有\(\left|a_m^{N_2}-a_n^{N_2}\right|<\epsilon_2\)。並且可以挑選夠大的\(M_2\)使得對於所有\(m>M_2\)同時也有\(\left|a_m^{N_1}-a_m^{N_2}\right|<\epsilon_1\)(這是因為\(|A_{N_1}-A_{N_2}|<\epsilon_1\))。
如此迴環往復，對於\(\epsilon_{l+1}=\frac{1}{2^{l+1}}\)，可以找到\(N_{l+1}>N_l\)使得對於所有\(m,n>N_{l+1}\)有 \[
|A_m-A_n|<\epsilon_{l+1}\;\;\mbox{(★)}
\] 且可以找到\(M_{l+1}>M_l\)使得對於所有\(m,n>M_{l+1}\)有 \[
\left|a_m^{N_{l+1}}-a_n^{N_{l+1}}\right|<\epsilon_{l+1}\mbox{ and
}\left|a_m^{N_l}-a_m^{N_{l+1}}\right|<\epsilon_l\;\;\mbox{(☆)}
\] 接著，我們考慮柯西序列\(\{a_k\}\)，其中 \[
a_k=\left\{
\begin{aligned}
a_k^{N_1}&,\mbox{ for }k<M_2\\
a_k^{N_2}&,\mbox{ for }M_2\leq k<M_3\\
a_k^{N_3}&,\mbox{ for }M_3\leq k<M_4\\
&\vdots
\end{aligned}
\right.
\] 我們希望說明\(\{a_k\}_{k=1}^\infty\)是\(\mathbb{Q}\)中的柯西序列。令 \[
I_l=\{M_l,M_l+1,M_l+2,\cdots,M_{l+1}-1\}
\] 則對於\(m\in I_l\)，\(n\in I_{l+1}\)，有 \[
\begin{aligned}
|a_m-a_n|&=\left|a_m^{N_l}-a_n^{N_{l+1}}\right|\\
&\leq\left|a_m^{N_l}-a_n^{N_l}|+|a_n^{N_l}-a_n^{N_{l+1}}\right|\\
&\leq \epsilon_l+\epsilon_l=\epsilon_{l-1}
\end{aligned}
\] 最後一步是來自(☆)。而\(\epsilon_{l-1}\)有可以任意小，故\(\{a_k\}_{k=1}^\infty\)為一柯西序列。故我們可以考慮實數\(A=[\{a_k\}]\)。
接著，我們希望說明
\[
\lim_{k\to\infty}A_k=A
\] 我們有 \[
|A_k-A|\leq |A_k-A_{N_l}|+|A_{N_l}-A|
\] 由(★)知只要\(k>N_l\)就會有\(|A_k-A_{N_l}|<\epsilon_l\)
(✪)。而對於\(j>M_l\)，假設\(M_i\leq j<M_{i+1}\)，則由(☆)有 \[
\begin{aligned}
\left|a_j^{N_l}-a_j\right|&=\left|a_j^{N_l}-a_j^{N_i}\right|\\
&\leq\left|a_j^{N_l}-a_j^{N_{l+1}}\right|+\left|a_j^{N_{l+1}}-a_j^{N_{l+2}}\right|+\cdots+\left|a_j^{N_{i-1}}-a_j^{N_i}\right|\\
&\leq\sum_{k=l}^\infty\left|a_j^{N_k}-a_j^{N_{k+1}}\right|\\
&\leq\sum_{k=l}^\infty\epsilon_k\\
&=\sum_{k=l}^\infty\frac{1}{2^k}\\
&<4\epsilon_l
\end{aligned}
\] 這對所有夠大的\(j\)都成立，故\(|A_{N_l}-A|<4\epsilon_l\)。結合(✪)就有
\[
|A_k-A|<5\epsilon_l
\] 又\(\epsilon_l\)可以任意小，故對於所有\(\epsilon>0\)，存在\(N_0\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(k>N_0\)有\(|A_k-A|<\epsilon\)。即 \[
\lim_{k\to\infty}A_k=A
\] 即實數上的柯西序列\(A_k\)有極限，且其極限為實數\(A\)，故可知\(\mathbb{R}\)是完備的。QED
實數序列
定理 11
有上界的單調遞增實數數列一定收斂(i.e.極限存在)。
證明：給定\(\mathbb{R}\)上的數列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)，且存在\(M\)使得對於所有\(n\in\mathbb{N}\)有\(a_n<M\)。並且對於所有\(n\in\mathbb{N}\)也應有\(a_n\leq
a_{n+1}\)。由定理10知我們只須說明\(\{a_n\}\)是實數中的柯西序列即可。
假設\(\{a_n\}\)不是柯西序列，則存在\(\epsilon>0\)使得對於所有\(N_0\in\mathbb{N}\)都存在\(m,n>N_0\)使得\(|a_m-a_n|\geq\epsilon\)。先令\(N_0=1\)，則存在\(m_1>n_1>N_0=1\)使得\(|a_{m_1}-a_{n_1}|\geq\epsilon\)。再令\(N_0=m_1+1\)，則存在\(m_2>n_2>N_0=m_1+1\)使得\(|a_{m_2}-a_{n_2}|\geq\epsilon\)。如此迴環往復，可以建構\(\{a_n\}\)的子序列\(\{a_{m_k}\}_{k=1}^\infty\)。由於\(\{a_n\}\)單調遞增，故也有\(\{a_{m_k}\}\)單調遞增。且由於\(n_{k+1}>m_k+1\)，故 \[
\epsilon\leq|a_{m_{k+1}}-a_{n_{k+1}}|<|a_{m_{k+1}}-a_{m_k}|
\] 於是，由三角不等式會有\(|a_{m_{k+1}}-a_1|\geq
k\epsilon\)。由阿基米德性質(這裡的性質22)可知存在夠大的\(k\)使得 \[
k\epsilon>M-a_{m_1}
\] 故 \[
a_{m_{k+1}}\geq k\epsilon+a_{m_1}>M
\] 但\(\{a_{m_k}\}\subseteq\{a_n\}\)，故\(\{a_{m_k}\}\)也應有上界\(M\)。矛盾。故\(\{a_n\}\)應為柯西序列，即其極限存在。QED
引理 12：夾擠引理 (Squeezing Lemma)
給定實數數列\(\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}\)，且存在\(N_0\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(n>N_0\)有\(b_n\leq a_n\leq c_n\)且 \[ \lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}c_n=a \] 則\(\{a_n\}\)的極限存在且 \[ \lim_{n\to\infty}a_n=a \]
證明：由定義可知對於\(\epsilon>0\)，應存在夠大的\(N_0<N_1\in\mathbb{N}\)使得對於所有\(n>N_1\)有 \[ |b_n-a|<\frac{\epsilon}{3}, |c_n-a|<\frac{\epsilon}{3} \] 於是由三角不等式有 \[ |b_n-c_n|\leq|b_n-a|+|c_n-a|<\frac{2\epsilon}{3} \] 又由\(b_n\leq a_n\leq c_n\)有 \[ \begin{aligned} |a_n-a|&\leq|a_n-b_n|+|b_n-a|\\ &\leq|c_n-b_n|+|b_n-a|\\ &\leq\frac{2\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}\\ &=\epsilon \end{aligned} \] 即 \[ \lim_{n\to\infty}a_n=a \] QED
定理 13
有界實數數列必有收斂子序列。
證明：給定\(\mathbb{R}\)上的數列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)，且存在\(M\)使得對於所有\(n\in\mathbb{N}\)有\(|a_n|<M\)。我們希望說明存在自然數序列\(\{n_k\}_{k=1}^\infty\subseteq\mathbb{N}\)使得\(\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty\)收斂。
由於\(|a_n|<M\)，故應存在\(m\)使得對於所有\(n\in\mathbb{N}\)有\(m<a_n<M\)。令\(b_0=m, c_0=M\)。考慮區間\(\left[b_0,\frac{M+m}{2}\right]\)與\(\left[\frac{M+m}{2},c_0\right]\)。由於\(\{a_n\}\)是無窮數列且所有點都落在區間\([b_0,c_0]\)中，故必有至少一個區間包含無窮多個\(\{a_n\}\)中的點。假設該區間為\(\left[b_0,\frac{M+m}{2}\right]\)。
接著，令\(b_1=b_0\), \(c_1=\frac{M+m}{2}\)。再把\([b_1,c_1]\)切一半，則必有其中一半有無窮多個\(\{a_n\}\)中的點。於是可以再用同樣的步驟考慮區間\([b_2,c_2]\)。如此迴環往復，可以建構出一串區間
\[
[b_0,c_0]\supset[b_1,c_1]\supset[b_2,c_2]\supset\cdots
\] 挑選\(n_k\)使得\(a_{n_k}\in[b_k,c_k]\)(由定義可知\([b_k,c_k]\)中應有無窮多個\(\{a_n\}\)中的點，故可以找到這樣的\(n_k\))。而我們知道 \[
b_1\leq b_2\leq b_3\leq\cdots\leq c_3\leq c_2\leq c_1
\] 可以發現\(\{b_n\}\)是單調遞增且有上界的數列(其上界為\(c_1\))，故由定理11知\(\{b_n\}\)為柯西序列。同理考慮序列\(\{-c_n\}\)，其亦為單調遞增且有上界的數列(其上界為\(-b_n\))，故\(\{-c_n\}\)是柯西序列 i.e. \(\{c_n\}\)也是柯西序列。又 \[
\lim_{n\to\infty}|c_n-b_n|=\frac{M-m}{2^n}=0
\] 即\(\{b_n\}\)與\(\{c_n\}\)是等價的柯西序列 i.e.
它們收斂到同一個實數\(a\)。而由於\(a_{n_k}\in[b_n,c_n]\)，故由夾擠引理(引理12)知\(\{a_{n_k}\}\)也是柯西序列，且其也應收斂至\(a\)。QED
定理 14
若一數列\(\{a_n\}\)的所有子序列都有收斂到\(x\in\mathbb{R}\)的子序列，則數列\(\{a_n\}\)收斂且收斂到\(x\)。
證明：假設\(\{a_n\}\)不收斂到\(x\)，則應存在\(\epsilon>0\)使得對於所有\(N_0\in\mathbb{N}\)都存在\(n>N\)使得\(|a_n-x|\geq\epsilon\)。於是，我們可以建構出一個\(\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty\)滿足 \[ |a_{n_k}-x|\geq\epsilon,\forall k \] 則顯然\(\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty\)沒有任何子序列能收斂到\(x\)，矛盾。故應有 \[ \lim_{n\to\infty}a_n=x \] QED