這份筆記是關於嘉當-迪奧多內定理的證明。
嘉當-迪奧多內定理
定義 1：雙曲二次空間 (Hyperbolic Quadratic Space)
若二次空間\(V\)是一串雙曲平面的正交直和，則稱\(V\)是雙曲二次空間。
引理 2
給定雙曲二次空間\((V,H)\)，並給定\(\sigma\in O(V)\)，並令\(M\)是\(V\)中維度最大的完全同向子空間(即沒有任何完全同向子空間的維度會大於\(\dim M\))，且\(\sigma\)在\(M\)上是等價映射(即\(\sigma|_M=\mbox{id}|_M\))，則\(\det(\sigma)=1\)。
證明：由於\(M\)是完全同向的，故由這裡的定理4知存在某個完全同向的子空間\(N\)使得\(M\oplus
N\)是一串雙曲平面的直和，且\(\dim
M=\dim N\)。令\(\dim
M=r\)，則由於\(V\)是雙曲二次空間且\(M\)是維度最大的完全同向子空間，故\(\dim V=2r\)。
而對於所有\(x\in M, y\in N\)，有 \[
\begin{aligned}
H(x,\sigma y-y)&=H(x,\sigma y)-H(x,y)\\
&=H(x,\sigma y)-H(\sigma x,\sigma y)\;\;(\sigma\mbox{是等距同構})\\
&=H(x,\sigma y)-H(x,\sigma
y)\;\;(\sigma\mbox{在}M\mbox{上是等價映射})\\
&=0
\end{aligned}
\] 故\(\sigma y-y\in
M^\perp\)。又因為\(M\)是完全同向的，故\(M\subseteq M^\perp\)，但 \[
\underbrace{\dim M}_{r}+\dim M^\perp=\underbrace{\dim V}_{2r}
\] 即\(\dim M=\dim
M^\perp=r\)。故\(M=M^\perp\)。
於是，有\(\sigma y-y\in M,\forall y\in N\)。令\(\{x_1,x_2,\cdots,x_r\}\)為\(M\)的基底，\(\{y_1,y_2,\cdots,y_r\}\)為\(N\)的基底，\(\beta=\{x_1,x_2,\cdots,x_r,y_1,y_2,\cdots,y_r\}\)為\(V\)的基底，則 \[
[\sigma]_\beta=\left(
\begin{array}{c|c}
I_r & \ast\\
\hline
0 & I_r
\end{array}
\right)
\] 其中\(\ast\)是某個不重要的區塊矩陣，上述矩陣的右邊長這樣是因為\(\sigma y=y+\)某個\(M\)中的東西。於是有 \[
\det(\sigma)=\det[\sigma]_\beta=1
\] QED
定理 3：嘉當-迪奧多內定理 (Cartan-Dieudonné Theorem)
給定非退化二次空間\((V,H)\)，其中\(\dim V=n\)，則\(O(V)\)中的每個元素都能被表為至多\(n\)個鏡射的合成。
證明這個定理之前，需要再有一個引理。
引理 3-1
給定非退化二次空間\((V,H)\)，其中\(\dim V=n\)，並給定\(\sigma\in O(V)\)，若對於所有非同向的\(x\in V\)都有\(\sigma x-x\neq 0\)且\(\sigma x-x\)同向，則\(n\geq 4\)，\(n\)為偶數，且\(\det(\sigma)=1\)。
證明：我們分成三個部分證明這個引理。
1. 若\(n=1\)，則\(O(V)=\{\pm\mbox{id}\}\)。若\(\sigma=+\mbox{id}\)，則\(\sigma x-x=0\)。若\(\sigma=-\mbox{id}\)，則 \[
\sigma x-x=-2x
\] 由於\(x\)不是同向的，故\(-2x\)也不是同向的(如果\(\mbox{char}(\mathbb{F})=2\)，則\(\sigma x-x\)=0)。可以發現\(\pm\mbox{id}\)都不滿足條件，故\(n\neq 1\)。
2. 若\(n=2\)，由於\(V\)是非退化的，故存在非同向的\(x\in V\)。若\(\sigma x-x\neq 0\)是同向的，則\(Q(\sigma x-x)=0\;\mbox{(★)}\)，即\(H(\sigma x-x,\sigma x-x)=0\)。展開整理可得
\[
2(H(x,x)-H(\sigma x,x))=0
\] 即 \[
Q(x)=H(x,x)=H(\sigma x,x)
\] 若\(\sigma
x-x=cx\)，其中\(c\neq
0\)，則由(★)有 \[
Q(\sigma x-x)=c^2Q(x)=0
\] 這導致\(Q(x)=0\)，這與\(x\)非同向的假設矛盾，故不能假設\(\sigma x-x=cx\)。
於是，我們知道\(\beta=\{x,\sigma
x\}\)是線性獨立的，且由於\(\dim
V=2\)，\(\beta\)是\(V\)的基底。則有 \[
[H]_\beta=\left(
\begin{array}{cc}
Q(x) & H(x,\sigma x)=Q(x)\\
H(\sigma x,x)=Q(x) & H(\sigma x,\sigma x)=Q(x)
\end{array}
\right)
\] 可以發現\(\det[H]_\beta=0\)。這與\((V,H)\)非退化的假設矛盾，故\(n\neq 2\)。
3. 對於\(n\geq 3\)，由條件知對於所有非同向的\(x\in V\)有\(Q(\sigma
x-x)=0\)。我們希望說明對於同向的\(y\in
V\)也有\(Q(\sigma y-y)=0\)。由這裡的定理4知存在某個包含\(y\)的雙曲平面\(\mathbb{H}\)。令 \[
V=\mathbb{H}\oplus U
\] 由於\(\dim V\geq 3\)，故\(\dim U\geq 1\)。可以找到向量\(z\in U\)滿足\(Q(z)=\lambda z\neq 0\)(即\(z\)是使\(U\)對角化的其中一個向量)。然而由二次空間直和的定義知\(H(y,z)=0\)，故對於\(\epsilon\neq 0\)有 \[
Q(y+\epsilon
z)=\underbrace{Q(y)}_{=0}+2\epsilon\underbrace{H(y,z)}_{=0}+\epsilon^2\underbrace{Q(z)}_{\neq
0}\neq 0
\] 即\(y+\epsilon
z\)是非同向的，故由假設應有 \[
Q(\sigma(y+\epsilon z)-(y+\epsilon z))=0\;\;\mbox{(☆)}
\] 且由於\(z\)也是非退化的，故也有\(Q(\sigma z-z)=0\)。故由(☆)有 \[
Q(\sigma y-y)+2\epsilon H(\sigma y-y,\sigma
z-z)+\epsilon^2\underbrace{Q(\sigma z-z)}_{=0}=0
\] 帶入\(\epsilon=\pm
1\)整理(這裡都假設\(\mbox{char}(F)\neq
2\)，故\(\\+1\neq
-1\))，可以得到\(Q(\sigma
y-y)=0\)。故有 \[
Q(\sigma y-y)=0,\forall y\in V\;\;\mbox{(✪)}
\] 接著，令\(W=R(\sigma-\mbox{id})\)(即\(\sigma-\mbox{id}\)的像)。由(✪)知\(Q|_W=0\)，故有\(H|_W=0\)。對於所有\(x\in V, y\in W^\perp\)，有 \[
\begin{aligned}
H(x,\sigma y-y)&=H(\sigma x,\sigma y-y)-H(\underbrace{\sigma
x-x}_{\in W},\underbrace{\sigma y-y}_{\in W})\\
&=H(\sigma x,\sigma y-y)\\
&=H(\sigma x,\sigma y)-H(\sigma x,y)\\
&=H(x,y)-H(\sigma x,y)\\
&=-H(\underbrace{\sigma x-x}_{\in W},\underbrace{y}_{\in W^\perp})=0
\end{aligned}
\] 故對於所有\(y\in
W^\perp\)，有\(\sigma y-y\in
V^\perp\)。但由於\(V\)是非退化的，故 \[
V^\perp=\mbox{rad}(V)=\{0\}
\] 即\(\forall y\in
W^\perp\)，\(\sigma
y-y=0\)，由假設知\(y\)不能是非同向的，故所有\(y\in W^\perp\)都是同向的。即 \[
\forall y\in W^\perp, Q(y)=0\mbox{ i.e. }H|_{W^\perp}=0
\] 於是，有 \[
W\underbrace{\subseteq}_{H|_W=0}W^\perp\underbrace{\subseteq}_{H|_{W^\perp}=0}(W^\perp)^\perp=W
\] 故\(W=W^\perp\)。故 \[
\dim V=\dim W+\dim W^\perp=2\dim W
\] 即\(\dim
V\)為偶數且大於等於\(4\)。
接著，由於\(W=W^\perp\)，故對於所有\(y\in W^\perp=W\)有\(\sigma y=y\)，即\(\sigma\)在\(W\)上是等價映射。而由偉特分解定理(這裡的定理1)可知存在非同向二次空間\(V'\)滿足 \[
V=\left(\bigoplus_{i=1}^I\mathbb{H}\right)\oplus V'
\] 其中\(\mathbb{H}\)是雙曲平面。由於\(H|_W=0\)，故\(W\)是完全同向的，即\(W\subseteq\left(\bigoplus\limits_{i=1}^I\mathbb{H}\right)\)。故有\(V'\subseteq W^\perp\)。但同時又有\(W\subseteq W^\perp\)，故 \[
\dim W^\perp\geqslant\dim W+\dim V'
\] 但由上述知\(\dim W^\perp=\dim
W\)，故\(\dim
V'=0\)，即\(V'=\{0\}\)，\(V\)是雙曲二次空間，且\(W\)是其上維度最大的完全同向子空間。故由引理2可知\(\det(\sigma)=1\)。QED
定理3的證明：我們分成下面三種狀況討論：
狀況一：存在非同向的\(x\in V\)使得\(\sigma x-x=0\)。
狀況二：存在非同向的\(x\in
V\)使得\(\sigma x-x\neq
0\)，但\(\sigma x-x\)非同向。
狀況三：對於所有非同向的\(x\in
V\)都有\(\sigma x-x\neq
0\)且\(\sigma x-x\)都是同向的。
很容易可以發現這樣就涵蓋所有狀況了。
狀況一：若存在非同向的\(x\in V\)使\(\sigma x-x=0\)，則有\(x=\sigma^{-1}x\)。我們對\(n=\dim V\)進行數學歸納法。
1. 當\(\dim V=1\)時，\(O(V)\)中的等距同構只有\(\pm\mbox{id}\)兩個，它們顯然都是至多一個鏡射的合成。
2. 假設當\(\dim V=n-1\)時\(O(V)\)中的等距同構可以被表為至多\(n-1\)個鏡射的合成，則由於\(x\)非同向，故有\(Q(x)\neq 0\)，且 \[
V=\mbox{span}\{x\}\oplus (\mbox{span}\{x\})^\perp
\] 令\(W=(\mbox{span}\{x\})^\perp\)，則對於所有\(h\in W\)，有 \[
H(\sigma h,x)=H(h,\sigma^{-1}x)=H(h,x)=0
\] 故\(\sigma h\in W\)，即\(W\)是\(\sigma\)-不變的。而由\(\sigma x=x\)可以知道\(\mbox{span}\{x\}\)也是\(\sigma\)-不變的。故\(\sigma|_W:W\to W\)是一個等距同構，\(W\)是非退化的，且\(\dim W=n-1\)。由歸納假設可知\(\sigma|_W\)可被表為至多\(n-1\)個鏡射的合成。即可令 \[
\sigma|_W=\tau_{x_1}\tau_{x_2}\cdots\tau_{x_{n-1}}
\] 其中\(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}\in
W\)。然而對於所有\(1\leq i\leq
n-1\)，由於\(x_i\in(\mbox{span}\{x\})^\perp\)，故 \[
\tau_{x_i}(x)=x-\frac{2H(x,x_i)}{H(x_i,x_i)}x_i=x
\] 故\(\tau_{x_1}\tau_{x_2}\cdots\tau_{x_{n-1}}(x)=x=\sigma
x\)，於是 \[
\sigma=\tau_{x_1}\tau_{x_2}\cdots\tau_{x_{n-1}}
\] 即\(\sigma\)是至多\(n-1\)個鏡射的合成。
狀況二：若存在非同向的\(x\in
V\)使得\(\sigma x-x\neq
0\)但\(\sigma
x-x\)是非同向的，則\(Q(\sigma x-x)\neq
0\)。於是 \[
\begin{aligned}
2H(\sigma x,\sigma x-x)&=2(H(x,x)-H(\sigma x,x))\\
&=H(\sigma x-x,\sigma x-x)\\
&=Q(\sigma x-x)\neq 0
\end{aligned}
\] 故 \[
\begin{aligned}
\tau_{\sigma x-x}(\sigma x)&=\sigma x-\frac{2H(\sigma x,\sigma
x-x)}{Q(\sigma x-x)}(\sigma x-x)\\
&=\sigma x-(\sigma x-x)=x
\end{aligned}
\] 故\(\tau_{\sigma
x-x}\sigma\)是等距同構且\(\tau_{\sigma
x-x}\sigma(x)=x\)，可以回到狀況一，可知\(\tau_{\sigma x-x}\sigma\)是至多\(n-1\)個鏡射的合成。而由於\(\tau_{\sigma
x-x}^{-1}\)也是鏡射。故可知\(\sigma\)是至多\(n\)個鏡射的合成。
狀況三：若對於所有非同向的\(x\in
V\)都有\(\sigma x-x\neq
0\)且\(\sigma
x-x\)同向，則由引理3-1知\(n\geq
4\)，\(n\)是偶數，且\(\det(\sigma)=1\)。給定某個鏡射\(\tau\)，令\(\sigma'=\tau\sigma\)。則 \[
\det(\sigma')=\det(\tau)\det(\sigma)=-1\times 1=-1
\] (由這裡的性質4-3可知\(\det(\tau)=-1\))。故由引理3-1可知\(\sigma'\)不是狀況三類型的等距同構，即\(\sigma'\)可以用狀況一或狀況二處理。於是可知\(\sigma'\)是至多\(n\)個鏡射的合成，即\(\sigma\)是至多\(n+1\)個鏡射的合成。但由於\(n\)是偶數，若\(\sigma\)剛好是\(n+1\)個鏡射的合成的話會導致\(\det(\sigma)=-1\)，矛盾。故\(\sigma\)也是至多\(n\)個鏡射的合成。QED