這份筆記是關於偉特分解定理的證明。
偉特分解定理
定理 1：偉特分解定理 (Witt Decoposition Theorem)
給定二次空間\((V,H)\)，則存在一個\(V\)的分解滿足 \[ V\simeq \mbox{rad}(V)\oplus\left(\bigoplus_{i=1}^I \mathbb{H}\right)\oplus V' \] 其中\(\left(\bigoplus\limits_{i=1}^I \mathbb{H}\right)\)是一串雙曲平面的直和，\(V'\)是非同向(anisotropic)的二次空間。且\(I=I(V)\)的值與\(V'\)的等距同構類和分解的選擇無關。
註記 1-1
「\(I=I(V)\)的值與\(V'\)的等距同構類和分解的選擇無關。」的意思是若有 \[ V\simeq \mbox{rad}(V)\oplus\left(\bigoplus_{i=1}^{I_1} \mathbb{H}\right)\oplus V'\simeq \mbox{rad}(V)\oplus\left(\bigoplus_{i=1}^{I_2} \mathbb{H}\right)\oplus V'' \] 則\(I_1=I_2=I(V)\)且\(V'\simeq V''\)為等距同構。
定義 1-2：偉特指數 (Witt Index)
我們將定理1中的\(I=I(V)\)稱為\(V\)的偉特指數。
註記 1-3
首先，由這裡的性質14可知存在某個非退化二次空間\(W\)滿足 \[ V=\mbox{rad}(V)\oplus W \] 而由這裡的定理4可知存在某個非同向的二次空間\(V'\)滿足 \[ W=\left(\bigoplus_{i=1}^I \mathbb{H}\right)\oplus V' \] 於是，定理1中還需要證明的部分只有「\(I=I(V)\)的值與\(V'\)的等距同構類和分解的選擇無關。」
定理 2：偉特消去定理 (Witt Cancellation Theorem)
給定二次空間\(U_1,U_2,V_1,V_2\)，其中\(V_1\simeq V_2\)是等距同構的，\(U_1\oplus V_1\simeq U_2\oplus V_2\)是等距同構的，則\(U_1\simeq U_2\)是等距同構。
註記 2-1
延續註記1-1，若有 \[
V\simeq \mbox{rad}(V)\oplus\left(\bigoplus_{i=1}^{I_1}
\mathbb{H}\right)\oplus V'\simeq
\mbox{rad}(V)\oplus\left(\bigoplus_{i=1}^{I_2} \mathbb{H}\right)\oplus
V''
\] 且若定理2成立，則可以先消去\(\mbox{rad}(V)\)。即得 \[
\left(\bigoplus_{i=1}^{I_1} \mathbb{H}\right)\oplus V'\simeq
\left(\bigoplus_{i=1}^{I_2} \mathbb{H}\right)\oplus V''
\] 假設\(I_1\neq
I_2\)，則令\(I_1\geq
I_2\)。由於雙曲平面都等距同構，故由定理2有 \[
\left(\bigoplus_{i=1}^{I_1-I_2} \mathbb{H}\right)\oplus V'\simeq
V''
\] 假設這個等距同構的映射是\(T\)，並令二次空間\(\left(\bigoplus\limits_{i=1}^{I_1-I_2}
\mathbb{H}\right)\oplus V'\)上的雙線性形式是\(H_1\)，\(V''\)上的雙線性形式是\(H_2\)。則由雙曲平面的定義知應存在\(0\neq x\in\left(\bigoplus\limits_{i=1}^{I_1-I_2}
\mathbb{H}\right)\)滿足 \[
0=H_1(x,x)=H_2(T(x),T(x))
\] 而由定義知\(T\)應是同構映射，故\(x\neq 0\)代表\(T(x)\neq 0\)。即\(T(x)\)在\(V''\)中是同向的。這與\(V''\)不同向的假設矛盾。故應有\(I_1=I_2\)，從而由定理2會有\(V'\simeq V''\)等距同構。
也就是說，只要證明定理2就等於把定理1證完了。
鏡射
定義 3：正交群 (Orthogonal Group)
給定二次空間\((V,H)\)，考慮等距同構\(M:(V,H)\to(V,H)\)，我們將所有這樣的等距同構構成的集合稱為\(V\)的正交群，記為\(O(V)\)。
註記 3-1：正交群的矩陣表示
在定義3中，由於\(M\)是等距同構，故對於所有\(v_1,v_2\in V\)，其應滿足\(H(v_1,v_2)=H(M(v_1),M(v_2))\)。我們將\(H\)在標準基底下的矩陣表示也記為\(H\)，則\(V\)的正交群可表示為 \[ O(V)=\{M\in\mbox{GL}_n|\forall v,w\in V, v^tHw=v^tM^tHMw\} \] 或者寫做 \[ O(V)=\{M\in\mbox{GL}_n|H=M^tHM\} \] 其中\(\mbox{GL}_n\)為所有\(n\times n\)可逆矩陣的集合。
定義 3-1-1：一般線性群 (General Linear Group)
我們將註記3-1中的\(\mbox{GL}_n\)稱為\(n\)次一般線性群。而若需要強調矩陣的元素都在\(\mathbb{F}\)中，則可記為\(\mbox{GL}_n(\mathbb{F})\)。
定義 4：鏡射 (Reflection)
給定二次空間\((V,H)\)，並給定\(v\in V\)滿足\(Q(v)=H(v,v)\neq 0\)，即\(v\)在\(V\)中是不同向的。則我們將對於\(v\)的鏡射\(\tau_v:V\to V\)定義為 \[ \tau_v(x)=x-\frac{2(H,x)}{Q(v)}v \]
註記 4-1
可以很容易驗證鏡射\(\tau_v\)是線性映射。
性質 4-2
前提條件同定義4。由於\(v\)是非同向的，故\(\mbox{span}\{v\}\)是非退化的。故由這裡的性質15有 \[ V=\mbox{span}\{v\}\oplus(\mbox{span}\{v\})^\perp \] 其中\(\mbox{span}\{v\}\)的基底為\(\{v\}\)，而令\((\mbox{span}\{v\})^\perp\)的基底為\(\{e_1,e_2,\cdots,e_{n-1}\}\)，其中\(n=\dim V\)。則 \[ \tau_v(v)=v-\frac{2H(v,v)}{Q(v)}v=-v \] 且由於對於所有\(e_i\)有\(H(e_i,v)=0\)，故 \[ \tau_v(e_i)=e_i-\frac{2H(e_i,v)}{Q(v)}v=e_i \]
性質 4-3
很容易可以發現\(\det(\tau_v)=-1\)。
引理 5
給定二次空間\((V,H)\)，並給定\(x,y\in V\)滿足\(Q(x)=Q(y)\neq 0\)。則存在\(M\in O(V)\)使得\(Mx=y\)。並且可以挑選\(M\)使得\(M\)是鏡射或兩個鏡射的合成。
證明：我們分成兩種狀況討論。
狀況一：若\(Q(x)\neq H(x,y)\)，則 \[
Q(x-y)=Q(x)-2H(x,y)+Q(y)=2[Q(x)-H(x,y)]\neq 0
\] 意即\(x-y\)在\(V\)中是非同向的。故可以定義鏡射\(\tau_{x-y}\)。我們有 \[
\begin{aligned}
\tau_{x-y}(x)&=x-\frac{2H(x,x-y)}{Q(x-y)}(x-y)\\
&=x-\frac{2(Q(x)-H(x,y))}{2(Q(x)-H(x,y))}(x-y)=y
\end{aligned}
\] 此即所求。
狀況二：若\(Q(x)=H(x,y)\)，則由二次形式的定義有\(Q(x)=Q(-x)\)。且由於\(Q(x)\neq 0\)，故 \[
H(x,y)\neq -H(x,y)=H(-x,y)
\] 則有\(Q(-x)=Q(y)\neq
0\)且\(Q(-x)\neq
H(-x,y)\)。可以回到狀況一，有 \[
\tau_{-x-y}(-x)=y
\] 又\(\tau_x(x)=-x\)，故有
\[
\tau_{-x-y}(\tau_x(x))=y
\] 此即所求。QED
偉特消去定理的證明
回到偉特消去定理，我們令\(f\)是\(V_1\)到\(V_2\)的等距同構，\(g\)是\(U_1\oplus
V_1\)到\(U_2\oplus
V_2\)的等距同構。我們有 \[
U_1\oplus V_1\xrightarrow{g}U_2\oplus
V_2\xrightarrow{\mbox{id}_{V_2}\oplus f^{-1}}U_2\oplus V_1
\] 都是等距同構。可以假設\(V_1=V_2=V\)，我們希望證明\(U_1\simeq
U_2\)是等距同構。我們底下會分四個步驟證明偉特消去定理。
步驟一：假設\(V\)是完全同向的，並令\(\dim V=r\)。並假設\(U_1\)是非退化二次空間，且令\(\dim U_1=s\)。接著，令\(H_1\)是\(V\oplus
U_1\)上的雙線性形式，\(H_2\)是\(V\oplus
U_2\)上的雙線性形式。並令\(\beta=\beta_V\cup\beta_{U_1}\)是\(V\oplus U_1\)的基底，\(\gamma=\gamma_V\cup\gamma_{U_2}\)是\(V\oplus U_2\)的基底。則有 \[
g(\beta)=g(\beta_V)\cup g(\beta_{U_1})
\] 接著，可以令\(H_1\)在\(\beta\)下的矩陣表示為 \[
M_1=\left(
\begin{array}{c|c}
O_r & O_{rs}\\
\hline
O_{sr} & B_1
\end{array}
\right)
\] 其中\(O_r, O_{rs},
O_{sr}\)是零矩陣(因為\(V\)完全同向故左上角是零，而由\(\beta\)的定義易知右上角和左下角也是零)。同理，可以令\(H_2\)在\(\gamma\)下的矩陣表示為 \[
M_2=\left(
\begin{array}{c|c}
O_r & O_{rs}\\
\hline
O_{sr} & B_2
\end{array}
\right)
\] 但由於\(g\)是等距同構，故對所有\(x,y\in U_1\oplus V\)有 \[
H_2(g(x),g(y))=H_1(x,y)
\] 即\(M_1\)也是\(H_2\)在\(g(\beta)\)下的矩陣表示。由這裡的定理6知存在\(M\in\mbox{GL}_{r+s}(\mathbb{F})\)滿足 \[
\left(
\begin{array}{c|c}
O_r & O_{rs}\\
\hline
O_{sr} & B_1
\end{array}
\right)=M^t\left(
\begin{array}{c|c}
O_r & O_{rs}\\
\hline
O_{sr} & B_2
\end{array}
\right)M
\] 令\(M=\left(
\begin{array}{c|c}
A & B\\
\hline
C & D
\end{array}
\right)\)，則 \[
\begin{aligned}
M_1=\left(
\begin{array}{c|c}
O_r & O_{rs}\\
\hline
O_{sr} & B_1
\end{array}
\right)&=M^t\left(
\begin{array}{c|c}
O_r & O_{rs}\\
\hline
O_{sr} & B_2
\end{array}
\right)M\\
&=\left(
\begin{array}{cc}
A^t & C^t\\
B^t & D^t
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc}
O_r & O_{rs}\\
O_{sr} & B_2
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc}
A & B\\
C & D
\end{array}
\right)\\
&=\left(
\begin{array}{cc}
0 & C^tB_2\\
0 & D^tB_2
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc}
A & B\\
C & D
\end{array}
\right)\\
&=\left(
\begin{array}{c|c}
\ast & \ast\\
\hline
\ast & D^tB_2D
\end{array}
\right)
\end{aligned}
\] 其中\(\ast\)代表沒有很重要的矩陣區塊。故有\(B_1=D^tB_2D\)。又由於\(U_1\)是非退化的，故\(\det(B_1)\neq 0\)。又\(\det(B_1)=\det(D)^2\det(B_2)\)，故\(\det(D)\neq 0\)，\(\det(B_2)\neq 0\)。即 \[
\mbox{rank}(B_1)=\mbox{rank}(B_2)=s
\] 即\(U_1\)和\(U_2\)是等距同構的。
步驟二：假設\(V\)是完全同向的，但\(U_1\)不一定非退化。則由這裡的定理12知可以挑選\(U_1\)和\(U_2\)的基底使得\(H_1|_{U_1}\)和\(H_2|_{U_2}\)在其上的矩陣表示都是對角矩陣，令這兩個矩陣分別為\(M_1\)和\(M_2\)。令\(M_1\)在對角線上有\(r\)個零，\(M_2\)在對角線上有至少\(r\)個零。我們可以在\(U_1\)中找到\(r\)個向量\(v_1,v_2,\cdots,v_r\)滿足\(H_1(v_i,v_i)=0\)。則 \[
U=U_1'\oplus\left(\bigoplus_{i=1}^r Fv_i\right)
\] 其中\(U_1'\)是非退化二次空間，\(Fv_i\)代表的是\(\mbox{span}\{v_i\}\)。則 \[
V\oplus U=(V\oplus Fv_1\oplus Fv_2\oplus\cdots\oplus Fv_r)\oplus
U_1'
\] 於是就可以回到步驟一(由\(v_i\)的選擇可知\(V\oplus Fv_1\oplus Fv_2\oplus\cdots\oplus
Fv_r\)也是完全同向的)。
步驟三：假設\(\dim
V=1\)，則可令\(V=\mbox{span}\{x\}\)。若\(H_1(x,x)=0\)，則\(V\)是完全同向的，回到步驟二。若\(H_1(x,x)\neq 0\)，則令\(x'=f(x)\)，其中\(f\)是\(V_1\)到\(V_2\)的等距同構(由於我們前面已經給定\(V_1=V_2=V\)了，所以其實就是\(V\)到\(V\)的等距同構)。則可以令 \[
H_1(x,x)=H_2(x',x')=a\neq 0
\] 接著，令 \[
W_1=U_1\oplus \underbrace{V}_{x}\simeq U_2\oplus \underbrace{V}_{x'}
\] 令\(g\)為這個等距同構的映射，並令\(y=g^{-1}(x')\)，\(U_1'=g^{-1}(U_2)\)。則 \[
W_1=\mbox{span}\{x\}\oplus U_1=\mbox{span}\{y\}\oplus U_1'
\] 且 \[
H_1(y,y)=H_2(g(y),g(y))=H_2(x',x')=a\neq 0
\] 故有\(Q(x)=Q(y)\neq
0\)，故由引理5知存在\(\tau\in
O(W_1)\)滿足\(\tau(x)=y\)。又
\[
W_1=\mbox{span}\{x\}\oplus(\mbox{span}\{x\})^\perp=\mbox{span}\{y\}\oplus(\mbox{span}\{y\})^\perp
\] 即\(U_1=(\mbox{span}\{x\})^\perp\)，\(U_1'=(\mbox{span}\{y\})^\perp\)。故\(\tau(U_1)=U_1'\)，於是有 \[
U_1\xrightarrow{\tau}U_1'\xrightarrow{g}U_2
\] 而\(\tau\)和\(g\)都是等距同構，故\(U_1\)和\(U_2\)是等距同構的。
步驟四：假設\(V=\mbox{span}\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\)，且這是對角化的基底(一樣可見這裡的定理12)，則使用步驟1~3，我們可以把它們一個一個消掉，最後也會剩下\(U_1\simeq U_2\)等距同構。QED
註記 6
我們其實可以從偉特定理推出西爾維斯特慣性定理(這裡的定理2)，詳略。