這份筆記是關於雙曲平面的定義與相關定理。
雙曲平面
定義 1：雙曲平面 (Hyperbolic Plane)
給定\(F\)上的二次空間\((V=F^2,H)\)，並令 \[ Q\left(\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)\right)=xy \] 為\(V\)上的二次形式。根據這裡的註記14-1，\(Q\)對應到的雙線性形式\(H\)為 \[ H\left(\left(\begin{array}{c} x_1\\ y_1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} x_2\\ y_2 \end{array}\right)\right)=\frac{1}{2}(x_1y_2+x_2y_1) \] 則\(H\)在\(V\)的標準基底下的矩陣表示為 \[ \left( \begin{array}{cc} 0 & 1/2\\ 1/2 & 0 \end{array} \right) \] 這樣的\((V,H)\)稱為雙曲平面。
註記 1-1
考慮體\(F\)與兩個線性獨立的向量\(v_1,v_2\)，則雙曲平面\((V,H)\)也可定義為\(V=Fv_1\oplus Fv_2\)(其中\(Fv_1=\{av_1:a\in F\}\))與 \[ H(v_1,v_1)=H(v_2,v_2)=0, H(v_1,v_2)=1 \]
註記 1-1-1
根據註記1-1，由這裡的註記3-1的第4.點易知雙曲平面\((V,H)\)是非退化的。
例 2
考慮三個雙曲平面\(\mathbb{H}_1=Fu_1\oplus
Fu_2\), \(\mathbb{H}_2=Fv_1\oplus
Fv_2\), \(\mathbb{H}_3=Fw_1\oplus
Fw_2\)，其對應的二次形式分別為\(H_1,H_2,H_3\)。並令\(V=\mathbb{H}_1\oplus\mathbb{H}_2\oplus\mathbb{H}_3\)，則\(V\)自然會有對稱雙線性形式 \[
H=H_1+H_2+H_3
\] 易知\((V,H)\)也是非退化二次空間。令\(W=\mathbb{H}_1=Fu_1\oplus Fu_2\subseteq
V\)，則 \[
W^\perp=Fv_1\oplus Fv_2\oplus Fw_1\oplus Fw_2
\] 易有\(V=W\oplus
W^\perp\)，這和這裡的性質15是符合的。
而今若令\(W=Fu_1\oplus Fv_1\)，則\(W^\perp=Fu_2\oplus
Fv_2\oplus\mathbb{H}_3\)。很容易可以發現 \[
\dim W+\dim W^\perp=\dim V
\] 以及\((W^\perp)^\perp=W\)，這和這裡的性質16也是符合的。
定理 3
給定同向的二次空間\((V,H)\)。則存在某個等距嵌入\(i\)與雙曲平面\(\mathbb{H}\)滿足\(i:\mathbb{H}\to(V,H)\)。
證明：令\(Q(v)=H(v,v)\)。由於\((V,H)\)是同向的，故存在某個\(u_1\in V\)使得\(Q(u_1)=0\)。而由定義\(H\)是非退化的，故存在某個\(w\in V\)使得\(H(u_1,w)\neq 0\)。不失一般性令\(H(u_1,w)=1\)。
另一方面，對於所有\(\alpha\in F\)，有 \[
Q(\alpha
u_1+w)=\alpha^2\underbrace{Q(u_1)}_{=0}+2\alpha\underbrace{H(u_1,w)}_{=1}+Q(w)
\] 若令\(\alpha=-\frac{1}{2}Q(w)\)，則有\(Q(\alpha u_1+w)=0\)。令\(u_2=\alpha u_1+w\)，則 \[
H(u_1,u_1)=H(u_2,u_2)=0, H(u_1,u_2)=H(u_1+\alpha u_1+w)=1
\] 很明顯\(u_1\)和\(u_2\)應該要是線性獨立的。考慮空間\(\mbox{span}\{u_1,u_2\}\)與其上的二次形式\(\tilde{H}\)，其中 \[
\tilde{H}(u_1,u_1)=\tilde{H}(u_2,u_2)=0,\tilde{H}(u_1,u_2)=1
\] 則由註記1-1知\((\mbox{span}\{u_1,u_2\},\tilde{H})\)是一個雙曲平面。
接著，考慮映射\(i\)滿足\(i(v)=v,\forall
v\in\mbox{span}\{u_1,u_2\}\)。則對於所有\(v,w\in\mbox{span}\{u_1,u_2\}\)有 \[
\tilde{H}(v,w)=H(i(v),i(w))
\] 又\(i\)顯然是一對一的，故\(i\)是雙曲平面\(\mathbb{H}=\mbox{span}\{u_1,u_2\}\)到\(V\)的等距嵌入。QED
定理 4
給定非退化二次空間\((V,H)\)，並考慮完全同向的子空間\(U\subseteq V\)(意即\(H|_U\equiv 0\))，其中\(U\)的基底為\(\{u_1,u_2,\cdots,u_m\}\)。則存在完全同向的子空間\(U'\)，其基底為\(\{u'_1,u'_2,\cdots,u'm\}\)使得\(H(u_i,u_j')=\delta_{ij}\)。且若令 \[
\langle
U,U'\rangle=\mbox{span}\{u_1,u_2,\cdots,u_m,u_1',u_2',\cdots,u_m'\}
\] 則\(\langle
U,U'\rangle\)是某\(m\)個雙曲平面的直和。
證明：對\(m\)進行數學歸納法。
1. \(m=1\)時，\(U\)的基底為\(\{u_1\}\)。由定理3知存在\(u_1'\)使得\(\mbox{span}\{u_1,u_1'\}\)是雙曲平面，即\(m=1\)時定理成立。
2. 假設\(\dim U<m\)時定理成立。則\(\dim U=m\)時，令 \[
W=\mbox{span}\{u_2,u_3,\cdots,u_m\}
\] 若\(W^\perp\subseteq(\mbox{span}\{u_1\})^\perp\)，則
\[
\mbox{span}\{u_1\}=(W^\perp)^\perp=W
\] 即\(u_1\in W\)。矛盾。故\(W^\perp\nsubseteq(\mbox{span}\{u_1\})^\perp\)，即存在\(v\in W^\perp\)滿足\(v\notin(\mbox{span}\{u_1\})^\perp\)。