這份筆記是關於二次空間的定義與性質，以及根分解的相關定理。
二次空間
定義 1：二次空間 (Quadratic Space)
給定\(F\)上的有限維向量空間\(V\)，並令\(\mbox{char}(F)\neq 2\)。對於對稱雙線性形式\(H\in B(V)\)，我們將\((V,H)\)稱為一個二次空間(有點類似將內積空間記做\((V,\langle\cdot,\cdot\rangle)\))。
定義 2：雙線性形式導出的線性映射 (Induced Linear Transformation of Bilinear Form)
給定\(F\)上的有限維向量空間\(V\)，並給定\(H\in B(V)\)。考慮線性映射\(L_H:V=V^\ast=\mathscr{L}(V,F)\)(即\(V\)的對偶空間)，其中對於\(v\in V\)，我們定義\(L_H(v)\in V^\ast\)為映射 \[ L_H(v)(w)=H(v,w),\forall w\in V \] 我們稱\(L_H\)為\(H\)導出的線性映射。
定義 3：非退化 (Nondegenerate)
給定\(F\)上的有限維向量空間\(V\)，並給定\(H\in B(V)\)。若\(L_H\)是\(V\)和\(V^\ast\)間的同構映射，則我們稱\(H\)是非退化的。否則，我們稱\(H\)是退化的。類似的，若在二次空間\((V,H)\)中\(H\)是非退化的，則我們也稱二次空間\((V,H)\)是非退化的。
註記 3-1
給定\(F\)上的有限維向量空間\(V\)，由這裡的定理4有\(\dim V=\dim V^\ast\)。則給定\(H\in B(V)\)，易知底下四件事是等價的。
1. \(H\)是非退化的 i.e. \(L_H\)是同構映射。
2. \(N(L_H)=\{0\}\)
3. 若\(L_H(v)\)為零映射，則\(v=0\)。
4. 給定\(v\in V\)，若對於所有\(w\in V\)都有\(H(v,w)=0\)，則\(v=0\)。
例 3-2：退化雙線性形式 (Degenerate Bilinear Form)
考慮\(V=\mathbb{R}^3\)上的雙線性形式\(H\)為 \[ H\left( \left(\begin{array}{c} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{array} \right),\left(\begin{array}{c} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{array} \right) \right)=x_1x_2+y_1y_2 \] 則對於所有\(\left(\begin{array}{c} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{array} \right)\in\mathbb{R}^3\)，有 \[ H\left( \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \right),\left(\begin{array}{c} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{array} \right) \right)=0 \] 故由註記3-1知\(H\)是退化的。
性質 3-3
給定\(F\)上的有限維向量空間\(V\)，並給定\(H\in
B(V)\)及\(V\)的有序基底\(\beta\)。令\(A=\Psi_\beta(H)\)(\(\Psi_\beta\)的定義可見這裡的定理4)，則\(H\)是非退化的 iff. \(\det(A)\neq 0\)。
證明：令\(\beta=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)，則對於所有\(x,y\in V\)，有 \[
H(x,y)=[\phi_\beta(x)]^tA[\phi_\beta(y)]
\] 且由定義易知\(\phi_\beta\)是\(V\)到\(F^n\)的同構映射。我們接著分兩部分說明此定理。
1. 若\(\det(A)=0\)，則\(det(A^t)=0\)且\(N(A)\neq\{0\}\), \(N(A^t)\neq\{0\}\)。故存在\(0\neq v\in N(A)\)使得\(Av=0\)，且存在\(0\neq v'\in N(A^t)\)使得\(A^tv'=0\) i.e. \((v')^tA=0\)，故有 \[
\forall w\in V,
H(v',w)=[\phi_\beta(v')]^tA[\phi_\beta(w)]=\underbrace{(v')^tA}_{=0}[\phi_\beta(w)]=0
\] 即\(H\)是退化的。
2.
若\(\det(A)\neq 0\)，則\(\{Aw:w\in F^n\}=F^n\)。並且對於\(v,w\in V\)，我們有 \[
H(v,w)=v^tAw
\] 若對於所有\(w\in V\)有\(H(v,w)=v^tAw=0\)，則因為\(Aw\)遍歷\(F^n\)，故這等同於\(v^tw=0,\forall w\in V\)，即有\(v=0\)。於是由註記3-1可知\(H\)是非退化的。QED
二次空間間的態射
定義 4：態射 (Morphism)
給定\(F\)上的向量空間\(V,W\)，並給定線性映射\(T:V\to W\)，並給定對稱雙線性形式\(H_V\in B(V), H_W\in B(W)\)。若對於所有\(v_1,v_2\in V\)，\(T\)都滿足 \[ H_V(v_1,v_2)=H_W(T(v_1),T(v_2)) \] 則稱\(T\)是\((V,H_V)\)到\((W,H_W)\)的態射。
定義 5：等距嵌入 (Isometric Embedding)
給定\(F\)上的二次空間\((V,H_V)\), \((W,H_W)\)與態射\(T:V\to W\)。若\(T\)是一對一的，則稱\(T\)是等距嵌入。
定義 6：等距同構 (Isometry)
給定\(F\)上的二次空間\((V,H_V)\), \((W,H_W)\)與態射\(T:V\to W\)。若\(T\)是同構映射，則稱\(T\)是等距同構。
性質 6-1
給定\(F\)上的二次空間\((V,H_V)\), \((W,H_W)\)與態射\(T:V\to W\)。若\(H_V\)是非退化的，則\(T\)是等距嵌入。
證明：給定\(v\in V\)使得\(T(v)=0\)。則對於所有\(v'\in V\)，有 \[ H_V(v,v')=H_W(T(v),T(v'))=0 \] 但\(H_V\)是非退化的，故\(v=0\)，即\(T\)是一對一的。QED
二次空間中的正交
定義 7：正交直和 (Orthogonal Direct Sum)
給定\(F\)上的二次空間\((V,H_V)\), \((W,H_W)\)，我們將\(V\)和\(W\)的正交直和定義為 \[ V\oplus W=\{(v,w):v\in V,w\in W\} \] 並定義\(H_{V\oplus W}\)為 \[ H_{V\oplus W}((v_1,w_1),(v_2,w_2))=H_V(v_1,v_2)+H_W(w_1,w_2),\forall (v_1,w_1),(v_2,w_2)\in V\oplus W \] 則易知\(H_{V\oplus W}\)也是對稱的，即\((V\oplus W,H_{V\oplus W})\)也是一個二次空間。
註記 7-1
可以發現二次空間的直和和普通向量空間的直和本質上來說是同一件事，即\(V\oplus W\)中的元素可以被唯一表示為一個\(V\)中的元素與一個\(W\)中的元素。
註記 7-2
給定\(F\)上的二次空間\(V_1\),\(V_2\)，並給定\(V_1\)的基底\(\beta_1=\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}\)與\(V_2\)的基底\(\beta_2=\{w_1,w_2,\cdots,w_n\}\)。令\(V_1\oplus V_2\)的正交直和，則\(V_1\oplus V_2\)的基底為 \[ \beta=\{(v_1,0),(v_2,0),\cdots,(v_m,0),(0,w_1),(0,w_2),\cdots,(0,w_n)\} \]
定義 8：正交子集 (Orthogonal Subspaces)
給定\(F\)上的二次空間\((V,H_V)\)，並考慮其子空間\(W_1\subseteq V\), \(W_2\subseteq V\)。若對於所有\(w_1\in W_1,w_2\in W_2\)有\(H_V(w_1,w_2)=0\)，則我們說\(W_1\)和\(W_2\)是正交子集，記做\(W_1\perp W_2\)。
定義 9：正交補餘 (Orthogonal Complement)
給定\(F\)上的二次空間\((V,H_V)\)，並考慮其子空間\(W\subseteq V\)。則定義\(W\)的正交補餘為 \[ W^\perp=\{v\in V:H_V(v,w)=0,\forall w\in W\} \]
二次空間中的同向
定義 10：同向 (Isotropic)
給定\(F\)上的二次空間\((V,H)\)。若\(v\in V\)滿足\(Q(v)=H(v,v)=0\)，則我們說\(v\)是同向的。若\(V\)中存在\(v\in V\)使得\(v\)是同向的，則我們也說\(V\)是同向的。
定義 11：完全同向 (Totally Isotropic)
給定\(F\)上的二次空間\((V,H)\)與其子空間\(W\subseteq V\)。若對於所有\(w_1,w_2\in W\)有\(H(w_1,w_2)=0\)，則稱\(W\)是完全同向的。
根分解
定義 12：根 (Radical)
給定二次空間\((V,H)\)。我們定義\(V\)的根為 \[ \mbox{rad}(V)=V^\perp=\{v\in V:H(v,v')=0,\forall v'\in V\} \]
註記 12-1
給定二次空間\((V,H)\)。由註記3-1易知\(H\)是非退化的 iff. \(\mbox{rad}(V)=\{0\}\)。
註記 13
給定二次空間\((V,H_V)\)與\((W,H_W)\)，則易知 \[ \mbox{rad}(V\oplus W)=\mbox{rad}(V)\oplus\mbox{rad}(W) \]
性質 14：根分解 (Radical Splitting)
給定二次空間\((V,H)\)，則存在非退化二次空間\(W\subseteq V\)(即\(H|_W\)是非退化的)使得\(V=\mbox{rad}(V)\oplus W\)。
證明：由定義易知\(\mbox{rad}(V)\perp V\)。由這裡的定理2可知存在\(V\)的子空間\(W\)使得對於所有\(x\in V\)都存在唯一的\(v\in\mbox{rad}(V)\), \(w\in W\)使得\(x=v+w\)。具體來說，就是令\(W=(\mbox{rad}(V))^\perp\)。
接著，考慮二次空間\((\mbox{rad}(V),H|_{\mbox{rad}(V)})\)與\((W,H|_W)\)。則給定\(x,y\in W\)，令\(x=v_1+w_1\), \(y=v_2+w_2\), \(v_1,v_2\in\mbox{rad}(V)\), \(w_1,w_2\in\mbox{rad}(W)\)，有 \[
H(x,y)=\underbrace{H(v_1,v_2)}_{=0}+H(w_1,w_2)=\underbrace{H|_{\mbox{rad}(V)}(v_1,v_2)}_{=0}+H|_W(w_1,w_2)
\] 故有\(V=\mbox{rad}(V)\oplus
W\)。接著，如果存在\(0\neq w\in
\mbox{rad}(W)\)，則對於所有\(x\in
V\)，考慮\(x=v_1+w_1\), \(v_1\in\mbox{rad}(V)\), \(w_1\in W\)。我們有 \[
H(w,x)=\underbrace{H(w,w_1)}_{=0}+\underbrace{H(w,v_1)}_{=0}=0
\] 即\(w\in\mbox{rad}(V)\)，但由\(W=(\mbox{rad}(V))^\perp\)知\(\mbox{rad}(V)\cap W=\{0\}\)，矛盾。故\(\mbox{rad}(W)=\{0\}\)，即\(W\)是非退化的。QED
性質 15
給定二次空間\((V,H)\)，並考慮非退化子空間\(W\subseteq V\)。則對於二次空間\((W,H|_W)\)和\((W^\perp,H|_{W^\perp})\)，有\(V=W\oplus W^\perp\)。
證明：由於\(W\)是非退化的，故\(\mbox{rad}(W)=\{0\}\)。但又由定義有\(\mbox{rad}(W)=W\cap W^\perp\)，故\(W\cap W^\perp=\{0\}\)。接著，考慮\(W\oplus W^\perp\subseteq
V\)，我們希望說明\(V=W\oplus
W^\perp\)。
給定\(z\in
V\)，對於任意\(w\in
W\)，定義\(Z(w)=H(z,w)\)。則\(Z\in\mathscr{L}(W,F)=W^\ast\)。又因為\(W\)是非退化的，故\(L_H:W\to W^\ast\)是映成的，即存在\(\tilde{w}\in W\)使得 \[
Z(w)=H(z,w)=H(\tilde{w},w),\forall w\in W
\] 故對於所有\(w\in W\)有\(H(z-\tilde{w},w)=0\)，於是\(z-\tilde{w}\in W^\perp\)，即 \[
z=\underbrace{\tilde{w}}_{\in W}+\underbrace{z-\tilde{w}}_{\in W^\perp}
\] 於是確實會有\(V=W\oplus
W^\perp\)(嚴格上來說應該是\(V\simeq
W\oplus W^\perp\)，但這並沒有關係)。QED
註記 15-1
給定二次空間\((V,H)\)，並給定子空間\((V_1,H|_{V_1}),(V_2,H|_{V_2})\)滿足\(V=V_1\oplus
V_2\)(一般向量空間的直和)，則若\(V_1\perp V_2\)，則作為二次空間有\(V=V_1\oplus V_2\)。
(這是註記7-2的另一個版本。)
性質 16
給定有限維非退化二次空間\((V,H_V)\)與其子空間\(W\subseteq V\)，則：
1. \(\dim W+\dim W^\perp=\dim V\)
2. \((W^\perp)^\perp=W\)
證明：
1. 考慮線性映射\(L:V\to W^\ast\)滿足 \[
L(v)(w)=H(v,w),\forall v\in V,w\in W
\] 則 \[
\begin{aligned}
N(L)&=\{v\in V:H_V(v,\cdot)\mbox{是}W^\ast\mbox{中的零映射}\}\\
&=\{v\in V:\forall w\in W,H(v,w)=0\}=W^\perp
\end{aligned}
\] 然而因為\(H_V\)是非退化的，故\(L_H:V\to
V^\ast\)是同構映射。接著，我們可以把\(L\)拆成兩個映射的合成，分別是\(L_H:V\to V^\ast\)和嵌入\(V^\ast\to W^\ast\)(見下圖1)。由於\(W^\ast\subseteq V^\ast\)，故嵌入\(V^\ast\to W^\ast\)是映成的，即\(L\)是映成的。
而\(L\)的像是\(W^\ast\)，核是\(W^\perp\)，故由維度定理有 \[
\dim V=\dim W^\ast+\dim W^\perp=\dim W+\dim W^\perp
\]
2. 由於\(W\subseteq
(W^\perp)^\perp\)，且 \[
\begin{aligned}
\dim V&=\dim W+\dim W^\perp\mbox{ (第1.點)}\\
&=\dim W^\perp+\dim (W^\perp)^\perp\mbox{ (把第1.點用在
}W^\perp\subseteq V\mbox{ 上)}
\end{aligned}
\] 即\(\dim W=\dim
(W^\perp)^\perp\)，故\(W=(W^\perp)^\perp\)。QED