這份筆記是關於西爾維斯特慣性定理的證明與應用。
西爾維斯特慣性定理
定理 1
給定\(F=\mathbb{R}\)上的有限維內積空間\(V\)。考慮對稱雙線性形式\(H\in B(V)\)，則存在\(V\)的正交規範基底\(\beta\)使得\(\Psi_\beta(H)\)是對角矩陣(\(\Psi_\beta\)的定義可見這裡的定理4)。
證明：隨便選一個\(V\)的正交規範基底\(\gamma=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)。令\(A=\Psi_\gamma(H)\)，則由於\(H\)是對稱的，故由這裡的定理8可知\(A\)是對稱矩陣，故\(A\)是自伴隨的。由這裡的定理6可知存在正交矩陣\(Q\)與對角矩陣\(D\)使得\(Q^tAQ=D\)。令 \[ w_j=\sum_{i=1}^n Q_{ij}v_i \] 令\(\beta=\{w_1,w_2,\cdots,w_n\}\)，則有\(Q=[I]^\gamma_\beta\)。又因為\(Q^tQ=I\)，故 \[ \begin{aligned} \langle w_k,w_l\rangle&=\left\langle\sum_{i=1}^nQ_{ik}v_i,\sum_{j=1}^nQ_{jl}v_j\right\rangle\\ &=\sum_{i,j=1}^n(Q^t)_{ki}Q_{jl}\underbrace{\langle v_i,v_j\rangle}_{=\delta_{ij}}\\ &=\sum_{i=1}^n(Q^t)_{ki}Q_{il}=\delta_{kl} \end{aligned} \] 故知\(\beta\)是\(V\)的正交規範基底。並且對於\(x,y\in V\)，由這裡的註記4-2及這裡的定理6有 \[ \begin{aligned} H(x,y)&=[\phi_\gamma(x)]^tA[\phi_\gamma(y)]\\ &=[\phi_\beta(x)]^tQ^tAQ[\phi_\beta(y)]\\ &=[\phi_\beta(x)]^tD[\phi_\beta(y)] \end{aligned} \] 即\(\Psi_\beta(H)=D\)是對角矩陣。QED
註記 1-1
給定\(F=\mathbb{R}\)上的有限維內積空間\(V\)，其中\(\dim V=n\)，並考慮\(V\)上的二次形式\(K\)，且\(H\in B(V)\)滿足\(K(x)=H(x,x),\forall x\in V\)。則由定理1，存在\(V\)的正交規範基底\(\beta\)使得 \[ \Psi_\beta=\left( \begin{array}{ccc} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{array} \right) \] 令\(\beta=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)，則給定\(x\in V\)，令 \[ x=s_1v_1+s_2v_2+\cdots+s_nv_n \] 則 \[ \begin{aligned} K(x)&=H(x,x)\\ &=\left( \begin{array}{ccc} s_1 & \cdots & s_n \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} s_1\\ \vdots\\ s_n \end{array} \right)\\ &=\sum_{i=1}^n\lambda_is^2_i \end{aligned} \]
定理 2：西爾維斯特慣性定理 (Sylvester's Law of Inertia)
給定\(F=\mathbb{R}\)上的有限維內積空間\(V\)，其中\(\dim
V=n\)。考慮對稱雙線性形式\(H\in
B(V)\)，則由定理1可知有很多種\(V\)的正交規範基底\(\beta\)使得\(\Psi_\beta(H)\)是對角矩陣，我們稱\(\Psi_\beta(H)\)為\(H\)的對角表示。則\(H\)的每一種對角表示的正的對角線元素個數都一樣多，負的對角線元素個數也一樣多。
證明：令\(\beta=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)和\(\gamma=\{w_1,w_2,\cdots,w_n\}\)都是使\(H\)能被對角化的\(V\)的正交規範基底。令 \[ r=\mbox{rank}(\Psi_\beta(H))=\mbox{rank}(\Psi_\gamma(H)) \] 則可以令 \[ H(v_i,v_i)=\left\{ \begin{aligned} >0 &, 1\leq i\leq p\\ <0 &, p+1\leq i\leq r\\ =0 &, r+1\leq i\leq n \end{aligned} \right., H(w_i,w_i)=\left\{ \begin{aligned} >0 &, 1\leq i\leq q\\ <0 &, q+1\leq i\leq r\\ =0 &, r+1\leq i\leq n \end{aligned} \right. \] 若\(p\neq q\)，則不失一般性令\(q>p\)，則令函數\(L:V\to\mathbb{R}^{p+r-q}\)為 \[ \forall x\in V, L(x)=(H(x,v_1),H(x,v_2),\cdots,H(x,v_p),H(x,w_{q+1}),H(x,w_{q+2}),\cdots,H(x,w_r)) \] 易知\(L\)是線性映射，且\(\mbox{rank}(L)\leq p+r-q\)，故 \[ \mbox{nullity}(L)\geq n-(p+r-q)>n-r\geq 0 \] 即\(\mbox{nulltiy}(L)>0\)，故存在\(0\neq v_0\in N(L)\)。且由於\(\mbox{nullity}(L)>n-r\)，故可以使\(v_0\notin\mbox{span}(\{v_{r+1},v_{r+2},\cdots,v_n\})\)。則 \[ \left\{ \begin{aligned} H(v_0,v_i)=0&,1\leq i\leq p\\ H(v_0,w_i)=0&,q+1\leq i\leq r \end{aligned} \right. \] 接著令 \[ v_0=\sum_{j=1}^n a_jv_j=\sum_{j=1}^n b_jw_j \] 於是對於\(1\leq i\leq p\)，有 \[ H(v_0,v_i)=H\left(\sum_{j=1}^n a_jv_j,v_i\right)=a_i\underbrace{H(v_i,v_i)}_{>0}=0 \] 故\(a_i=0\)。同理，對於\(q+1\leq j\leq r\)，也有 \[ H(v_0,w_j)=H\left(\sum_{k=1}^n b_kw_k,w_j\right)=b_j\underbrace{H(w_j,w_j)}_{<0}=0 \] 故\(b_j=0\)。又\(v_0\notin\mbox{span}(\{v_{r+1},v_{r+2},\cdots,v_n\})\)，故存在某個\(p+1\leq i\leq r\)使得\(a_i\neq 0\)，則 \[ H(v_0,v_0)=\sum_{j=1}^n a_j^2H(v_j,v_j)=\sum_{j=p+1}^n a_j^2\underbrace{H(v_j,v_j)}_{<0}<0 \] 但同時又有 \[ H(v_0,v_0)=\sum_{j=1}^n b_j^2H(w_j,w_j)=\sum_{j=1}^q b_j^2\underbrace{H(w_j,w_j)}_{>0}\geq 0 \] 矛盾，故應有\(p=q\)。QED
註記 2-1：矩陣的西爾維斯特慣性定理
考慮對稱矩陣\(A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})\)，則任何和\(A\)合同的對角矩陣\(D\)都有一樣多的正對角元素和負對角元素(用這裡的定理4把\(A\)對應回\(V\)上的雙線性形式再應用定理2即可)。
定義 3：矩陣的不變量 (Invariants of a Matrix)
定義 3-1：矩陣的指標 (Index of a Matrix)
給定對稱矩陣\(A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})\)，並令\(D\)是和\(A\)合同的對角矩陣。由註記2-1知\(D\)的對角線上正元素的個數是固定的，令\(D\)的對角線上正元素的個數為\(A\)的指標，記為\(\mbox{index}(A)\)。
定義 3-2：矩陣的簽章 (Signature of a Matrix)
給定對稱矩陣\(A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})\)，並令\(D\)是和\(A\)合同的對角矩陣。由註記2-1知\(D\)的對角線上正元素和負元素的個數是固定的，令\(D\)對角線上正元素的個數減去\(D\)的對角線上負元素的個數為\(A\)的簽章，記為\(\mbox{signature}(A)\)。
定義 3-3：同不變量 (Same Invariants)
給定對稱矩陣\(A, B\in M_{n\times n}(\mathbb{R})\)。若\(\mbox{rank}(A)=\mbox{rank}(B)\), \(\mbox{index}(A)=\mbox{index}(B)\), \(\mbox{signature}(A)=\mbox{signature}(B)\)，則稱\(A\)和\(B\)有相同不變量。
註記 4
給定對稱矩陣\(A, B\in M_{n\times
n}(\mathbb{R})\)。則\(A\)和\(B\)合同 iff. \(A\)和\(B\)有相同不變量。
證明：我們分成兩部分說明。
「\(\Rightarrow\)」：若\(A\)和\(B\)合同，則由註記2-1顯然可知\(A\)和\(B\)有相同不變量。
「\(\Leftarrow\)」：若\(A\)和\(B\)有相同不變量，則可以令\(A=Q_1^tD_1Q_1\), \(B=Q_2^tD_2Q_2\)，其中 \[
D_1=\left(
\begin{array}{cccccc}
a_1 & & & & & \\
& \ddots & & & & \\
& & a_r & & & \\
& & & 0 & & \\
& & & & \ddots & \\
& & & & & 0
\end{array}
\right),D_2=\left(
\begin{array}{cccccc}
b_1 & & & & & \\
& \ddots & & & & \\
& & b_r & & & \\
& & & 0 & & \\
& & & & \ddots & \\
& & & & & 0
\end{array}
\right)
\] 其中對於\(1\leq i\leq
p\)有\(a_i,b_i>0\)，對於\(p+1\leq i\leq r\)有\(a_i,b_i<0\)。又令 \[
\tilde{Q}=\left(
\begin{array}{cccccc}
\sqrt{b_1/a_1} & & & & & \\
& \ddots & & & & \\
& & \sqrt{b_r/a_r} & & & \\
& & & 1 & & \\
& & & & \ddots & \\
& & & & & 1
\end{array}
\right)
\] 則有\(D_2=\tilde{Q}^tD_1\tilde{Q}\)，即\(D_1\)和\(D_2\)合同，於是也有\(A\)和\(B\)合同。QED
註記 5
\(M_{n\times
n}(\mathbb{R})\)中對稱矩陣的合同的等價類個數為\(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)，意即\(M_{n\times
n}(\mathbb{R})\)中至多只能找到恰\(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)個矩陣是兩兩不合同的。
證明：給定對稱矩陣\(A\in M_{n\times n}(R)\)，令\(A\)和對角矩陣\(D\)合同，則令 \[ a_1=\mbox{index}(A), a_2=\mbox{index}(A)-\mbox{signature}(A), a_3=n-\mbox{rank}(A) \] 它們分別代表\(D\)對角線上正元素、負元素與零的個數。由註記4知\(A\)和\(B\)合同若且唯若它們有相同的不變量，故\(a_1+a_2+a_3=n\)的非負整數解數就是\(M_{n\times n}(\mathbb{R})\)中對稱矩陣的合同的等價類個數。而這個解數就是 \[ \frac{(n+2)!}{2!n!}=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \] QED