這份筆記是關於雙線性形式的定義與性質。
雙線性形式
定義 1：雙線性形式 (Bilinear Form)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，並考慮函數\(H:V\times V\to F\)。若\(H\)滿足以下兩個性質，則我們稱\(H\)是\(V\)上的雙線性形式：
1. \(\forall a\in F, x_1,x_2,y\in V\), \(H(ax_1+x_2,y)=aH(x_1,y)+H(x_2,y)\)
2.
\(\forall a\in F, y_1,y_2,x\in V\),
\(H(x,ay_1+y_2)=aH(x,y_1)+H(x,y_2)\)
註記 1-1
給定\(F\)上的向量空間\(V\)及其上的雙線性形式\(H:V\times V\to F\)。給定\(x\in V\)，定義\(L_x(y)=H(x,y)\)，則\(L_x:V\to F\)是線性映射。類似的，定義\(R_x(y)=H(y,x)\)，則\(R_x:V\to F\)也是線性映射。(這是顯然的，證略。)
註記 1-2
給定\(F\)上的向量空間\(V\)及其上的雙線性形式\(H:V\times V\to F\)。則對於所有\(x\in V\)，有\(H(0,x)=H(x,0)=0\)。
證明：由註記1-1有 \[ H(0,x)=R_x(0)=0 \] 同理亦有\(H(x,0)=L_x(0)=0\)。QED
註記 1-3
給定\(F\)上的向量空間\(V\)及其上的雙線性形式\(H:V\times V\to F\)。則對於所有\(x,y,z,w\in V\)，由定義直接可得 \[ H(x+y,z+w)=H(x,z)+H(x,w)+H(y,z)+H(y,w) \]
註記 1-4
給定\(F\)上的向量空間\(V\)及其上的雙線性形式\(H:V\times V\to F\)。定義\(J(x,y)=H(y,x)\)，則易知\(J\)也是\(V\)上的雙線性形式。
定義 2：雙線性形式的運算 (Arithmetic of Bilinear Forms)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)及其上的雙線性形式\(H_1\)與\(H_2\)，則定義 \[ (H_1+H_2)(x,y)=H_1(x,y)+H_2(x,y),\forall x,y\in V \] 並且對於所有\(a\in F\)，定義 \[ (aH_1)(x,y)=a(H_1(x,y)),\forall x,y\in V \]
定義 2-1：雙線性形式空間 (Space of Bilinear Forms)
由定義2可知\(V\)上所有的雙線性形式構成一個向量空間。記該空間為\(B(V)\)。
定義 3：雙線性形式的矩陣表示 (Matrix Representation of Bilinear Form)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)及\(H\in B(V)\)，並給定\(V\)的有序基底\(\beta=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)。考慮矩陣\(A\in M_{n\times n}(F)\)使得其\(ij\)-元\(A_{ij}\)滿足 \[ A_{ij}=H(v_i,v_j) \] 我們稱\(A\)為\(H\)在\(\beta\)上的矩陣表示。
定理 4
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，其中\(\dim
V=n<\infty\)，且令\(\beta=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)為\(V\)的有序基底。考慮映射\(\Psi_\beta:B(V)\to M_{n\times
n}(F)\)，其中對於\(H\in
B(V)\)有\(\Psi_\beta(H)=A\)，\(A\)是\(H\)在\(\beta\)上的矩陣表示，則\(\Psi_\beta\)是同構映射。
證明：很容易可以知道\(\Psi_\beta\)是線性映射，我們接著分兩部分說明。
1. \(\Psi_\beta\)是一對一的：若對於某個\(H\in B(V)\)有\(\Psi_\beta(H)=0\)，則固定\(v_i\in\beta\)，考慮註記1-1中的\(L_{v_i}:V\to F\)。則對於所有\(v_j\in\beta\)有 \[
L_{v_i}(v_j)=H(v_i,v_j)=0
\] 故\(L_{v_i}\)是零映射，意即對於所有\(y\in V\), \(v_i\in\beta\)有\(H(v_i,y)=0\)。於是對於所有\(x,y\in V\)會有\(H(x,y)=0\)，即\(H=0\)，故\(\Psi_\beta\)是一對一的。
2. \(\Psi_\beta\)是映成的：給定\(x\in V\)。可以找到\(a_1,a_2,\cdots,a_n\in F\)使得 \[
x=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n
\] 考慮映射\(\phi_\beta:V\to
F^n\)為 \[
\phi_\beta(x)=(a_1,a_2,\cdots,a_n)
\] 易知\(\phi_\beta\)為同構映射。則對於\(A\in M_{n\times n}(F)\)，令 \[
H(x,y)=[\phi_\beta(x)]^tA[\phi_\beta(y)],\forall x,y\in V
\] 則對於\(v_i,v_j\in\beta\)，有
\[
H(v_i,v_j)=e_i^tAe_j=A_{ij}
\] 故有\(\Psi_\beta(H)=A\)，即\(\Psi_\beta\)是映成的。
結合1.、2.，可知\(\Psi_\beta\)是同構映射。QED
註記 4-1
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，其中\(\dim V=n<\infty\)。由定理4可知 \[ \dim B(V)=\dim M_{n\times n}(F)=n^2 \]
註記 4-2
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，其中\(\dim V=n<\infty\)。並考慮定理4中的映射\(\Psi_\beta\)與\(\phi_\beta\)。則對於\(H\in B(V)\), \(A\in M_{n\times n}(F)\)，有 \[ \Psi_\beta(H)=A\Leftrightarrow H(x,y)=[\phi_\beta(x)]^tA[\phi_\beta(y)] \]
定義 5：合同 (Congruent)
給定矩陣\(A,B\in M_{n\times n}(F)\)。若存在可逆矩陣\(Q\in M_{n\times n}(F)\)使得\(B=Q^tAQ\)，則稱\(A\)和\(B\)是合同的。可以記為\(A\sim B\)。
定理 6
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，其中\(\dim
V=n<\infty\)，且令\(\beta=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)和\(\gamma=\{w_1,w_2,\cdots,w_n\}\)為\(V\)的兩組有序基底，並令\(Q=[I]^\beta_\gamma\)。由這裡的定理2知\(Q\)是可逆的。則對於\(H\in B(V)\)，有 \[
\Psi_\gamma(H)=Q^t\Psi_\beta(H)Q
\] (即\(\Psi_\gamma(H)\)和\(\Psi_\beta(H)\)是合同的。)
證明：記\(\Psi_\gamma(H)=B\), \(\Psi_\beta(H)=A\)。則由[這裡]的定理2有 \[ \phi_\beta(y)=[I(y)]_\beta=[I]^\beta_\gamma[y]_\gamma=Q[\phi_\gamma(y)] \] 故由註記4-2有 \[ \begin{aligned} H(x,y)&=[\phi_\beta(x)]^tA[\phi_\beta(y)]\\ &=[\phi_\gamma(x)]^tQ^tAQ[\phi_\gamma(y)]\\ &=[\phi_\gamma(x)]^tB[\phi_\gamma(y)] \end{aligned} \] 而由註記4-2可知\(B=Q^tAQ\)。QED
對稱雙線性形式
定義 7：對稱雙線性形式 (Symmetric Bilinear Form)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)與雙線性形式\(H\in B(V)\)。若對於所有\(x,y\in V\)有\(H(x,y)=H(y,x)\)，則稱\(H\)是對稱的。
定理 8
給定\(F\)上的向量空間\(V\)與雙線性形式\(H\in B(V)\)，並給定\(V\)的有序基底\(\beta\)，則\(H\)是對稱的 iff. \(\Psi_\beta(H)\)是對稱矩陣。
證明：令\(\beta=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)，並記\(B=\Psi_\beta(H)\)。由註記4-2有 \[
H(x,y)=[\phi_\beta(x)]^tB[\phi_\beta(y)]
\] 我們接著分兩個部分證明此定理。
「\(\Rightarrow\)」：若\(H\)是對稱的，則由定義有 \[
B_{ij}=H(v_i,v_j)=H(v_j,v_i)=B_{ji}
\] 故\(B\)是對稱矩陣。
「\(\Leftarrow\)」：若\(B\)是對稱矩陣，則令\(J(x,y)=H(y,x)\)。由註記1-4知\(J\)是雙線性形式。令\(C=\Psi_\beta(J)\)，則由定義 \[
C_{ij}=J(v_i,v_j)=H(v_j,v_i)=B_{ji}=B_{ij}
\] 故\(C=B\)，即\(\Psi_\beta(J)=\Psi_\beta(H)\)。又由定理4知\(\Psi_\beta\)是同構映射，故\(J=H\)，即 \[
\forall x,y\in V, J(x,y)=H(y,x)=H(x,y)
\] 即\(H\)是對稱的。QED
定義 9：可對角化 (Diagonalizable)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)與雙線性形式\(H\in B(V)\)，其中\(\dim V<\infty\)。若存在\(V\)的有序基底\(\beta\)使得\(\Psi_\beta(H)\)是對角矩陣，則稱\(H\)是可對角化的。
註記 10
給定\(F\)上的向量空間\(V\)與雙線性形式\(H\in B(V)\)，其中\(\dim V<\infty\)。若\(H\)可對角化，則\(H\)是對稱的。
證明：若\(H\)可對角化，則存在\(V\)的有序基底\(\beta\)使得\(\Psi_\beta(H)=D\)是對角矩陣。而由於\(D\)是對稱的，故由定理8知\(H\)是對稱的。QED
例 10-1
註記10反過來不一定成立。考慮\(F=\mathbb{Z}_2=\{0,1\}\)，\(V=F^2\)。考慮雙線性形式\(H:V\times V\to F\)滿足 \[ H((a_1,a_2),(b_1,b_2))=a_1b_2+a_2b_1,\forall (a_1,a_2),(b_1,b_2)\in V \] 令\(\beta=\{(1,0),(0,1)\}\)為\(V\)的標準基底，則 \[ A=\Psi_\beta(H)=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \] 由於\(A\)是對稱的，故由定理8知\(H\)是對稱的。但如果存在\(V\)的基底\(\gamma\)使得\(B=\Psi_\gamma(H)\)是對角矩陣的話，則由定理6知\(B\)和\(A\)是合同的 i.e. 存在可逆的\(Q\)使得\(B=Q^tAQ\)。又\(\mbox{rank}(A)=2\)且\(Q\)可逆，故\(\mbox{rank}(B)=\mbox{rank}(A)=2\)，又\(B\)是\(F=\{0,1\}\)上的對角矩陣，故 \[ B=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) \] 令\(Q=\left( \begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right)\)，則 \[ \begin{aligned} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right)&=\left( \begin{array}{cc} a & c\\ b & d \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{cc} ac+ac & bc+ad\\ bc+ad & bd+bd \end{array} \right) \end{aligned} \] 但在\(F=\mathbb{Z}_2\)中一定有\(ac+ac=bd+bd=0\)，矛盾。故\(H\)不是可對角化的。
引理 11
給定\(F\)上的向量空間\(V\)與對稱雙線性形式\(0\neq H\in B(V)\)，其中\(\mbox{char}(F)\neq 2\)(意即在\(F\)中\(1+1\neq
0\))。則存在\(x\in V\)使得\(H(x,x)\neq 0\)。
證明：由於\(H\)不是零，故存在\(u,v\in V\)使得\(H(u,v)\neq 0\)。若\(H(u,u)\neq 0\)或\(H(v,v)\neq 0\)，則引理得證。而若\(H(u,u)=H(v,v)=0\)，則考慮\(x=u+v\)，則 \[ \begin{aligned} H(x,x)&=\underbrace{H(u,u)}_{=0}+\underbrace{H(v,v)}_{=0}+H(u,v)+H(v,u)\\ &=2H(u,v) \end{aligned} \] 由於在\(F\)中\(1+1\neq 0\)且\(H(u,v)\neq 0\)，故\(2H(u,v)\neq 0\)，即\(H(x,x)\neq 0\)。QED
定理 12
給定\(F\)上的有限維向量空間\(V\)，其中\(\mbox{char}(F)\neq 2\)，則\(V\)上的每一個對稱雙線性形式都可對角化。
證明：我們對\(\dim V\)做數學歸納法。
1. \(\dim V=1\)時，結論是顯然的。
2.
假設當\(\dim
V<n\)時定理都成立，則當\(\dim
V=n\)時，令\(H\)是\(V\)上的非零對稱雙線性形式。則由引理11，存在\(x\in V\)使得\(H(x,x)\neq 0\)。令\(L_x(y)=H(x,y)\)。由註記1-1知\(L_x:V\to F\)是線性映射，且\(L_x(x)=H(x,x)\neq 0\)。則由於\(\mbox{rank}(L_x)\)至多是\(\dim F\)，而\(\dim F=1\)，故\(\mbox{rank}(L_x)=1\)。於是有 \[
\dim N(L_x)=n-1
\] 考慮\(H|_{N(L_x)}:N(L_x)\times
N(L_x)\to F\)為一\(N(L_x)\)上的雙線性形式。則依據歸納假設，存在\(N(L_x)\)的基底\(\beta=\{v_1,v_2,\cdots,v_{n-1}\}\)使得\(\Psi_\beta(H|_{N(L_x)})\)是對角矩陣，即\(\forall i\neq j, 1\leq i,j\leq n-1\), \(H(v_i,v_j)=0\)。
接著，由於\(L_x(x)\neq 0\)，故\(x\notin N(L_x)\)，令\(v_n=x\)。則\(\beta'=\{v_1,v_2,\cdots,v_{n-1},v_n=x\}\)是\(V\)的基底。則因為\(\mbox{rank}(L_x)=1\)，故 \[
H(v_n,v_i)=H(v_i,v_n)=L_x(v_i)=0,\forall 1\leq i\leq n-1
\] 故知\(\Psi_{\beta'}(H)\)是對稱矩陣。
由數學歸納法，我們可知此定理對任意\(\dim
V=n\)都成立。QED
推論 12-1
給定對稱矩陣\(A\in M_{n\times
n}(F)\)，其中\(\mbox{char}(F)\neq
2\)。則\(A\)和某個對角矩陣是合同的。
證明：由定理4知\(\Psi_\beta\)是\(B(F^n)\)和\(M_{n\times n}(F)\)間的同構映射，故存在對稱雙線性形式\(H\in B(V)\)使得\(\Psi_\beta(H)=A\)。由定理12知存在\(F^n\)的基底\(\gamma\)使得\(\Psi_\gamma(H)=D\)是對角矩陣。故由定理8知\(A\)和\(D\)是合同的。QED
對稱矩陣的對角化
註記 13
給定對稱矩陣\(A\in M_{n\times n}(F)\)，其中\(\mbox{char}(F)\neq 2\)。則由推論12-1知\(A\)和某個對角矩陣是合同的，即存在可逆矩陣\(Q\)與對角矩陣\(D\)使得\(Q^tAQ=D\)。又由於\(Q\)是可逆的，故\(Q\)可表為一連串基本矩陣的乘積，即 \[ Q=E_1E_2\cdots E_k, Q^t=E_k^tE_{k-1}^t\cdots E_1^t \]
例 13-1
考慮矩陣 \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3\\ -1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right) \] 我們想把\(A\)給對角化。由註記13知我們可以經由對稱的基本列運算與基本行運算來將\(A\)對角化。底下記「行」為行運算，「列」為列運算。 \[ \begin{aligned} &\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3\\ -1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right|\left. \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\xrightarrow{\mbox{行}}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & 4 & 1 \end{array} \right|\left. \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\\ \xrightarrow{\mbox{列}}&\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 4\\ 3 & 4 & 1 \end{array} \right|\left. \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\xrightarrow{\mbox{行}}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 4\\ 3 & 4 & -8 \end{array} \right|\left. \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\\ \xrightarrow{\mbox{列}}&\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 4\\ 0 & 4 & -8 \end{array} \right|\left. \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ -3 & 0 & 1 \end{array} \right)\xrightarrow{\mbox{行}}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 4 & -24 \end{array} \right|\left. \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ -3 & 0 & 1 \end{array} \right)\\ \xrightarrow{\mbox{列}}&\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -24 \end{array} \right|\left. \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ -7 & -4 & 1 \end{array} \right) \end{aligned} \] 於是令 \[ Q=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -7\\ 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right), D=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -24 \end{array} \right) \] 就會有\(D=Q^tAQ\)。
二次形式
定義 14：二次形式 (Quadratic Form)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，考慮函數\(K:V\to F\)。若存在對稱雙線性形式\(H\in B(V)\)使得\(\forall x\in V\), \(K(x)=H(x,x)\)，則稱\(K\)為二次形式。
註記 14-1
給定\(F\)上的向量空間\(V\)及二次形式\(K:V\to F\)，且\(\mbox{char}(F)\neq 2\)。令雙線性形式\(H\in B(V)\)滿足\(K(x)=H(x,x),\forall x\in V\)。則對於\(x,y\in V\)，有 \[ \begin{aligned} \frac{1}{2}(K(x+y)-K(x)-K(y))&=\frac{1}{2}(H(x+y,x+y)-H(x,x)-H(y,y))\\ &=\frac{1}{2}(H(x,y)+H(y,x))=H(x,y) \end{aligned} \] 也就是說，當\(\mbox{char}(F)\neq 2\)時，可以用\(K\)表示回\(H\)。
註記 14-1-1
給定\(F\)上的向量空間\(V\)及二次形式\(K:V\to F\)，且\(\mbox{char}(F)\neq 2\)。令雙線性形式\(H\in B(V)\)滿足\(K(x)=H(x,x),\forall x\in V\)。由註記1-1可知這樣的\(H\)是唯一的。