這份筆記是關於剛性變換的定義與性質，以及\(\mathbb{R}^2\)上的正交映射。
剛性變換
定義 1：剛性變換 (Rigid Motion)
給定\(F=\mathbb{R}\)上的有限維內積空間\(V\)。令\(f:V\to V\)為一函數(不一定要是線性映射)。若對於所有\(x,y\in V\)有\(\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|\)，則稱\(f\)是剛性變換。
定義 2：位移 (Translation)
給定常數\(c\)，我們稱函數\(g(x)=x+c\)為位移函數。
定理 3
給定\(F=\mathbb{R}\)上的有限維內積空間\(V\)。令\(f:V\to
V\)為剛性變換，則存在唯一的正交線性映射\(T:V\to V\)與位移\(g:V\to V\)使得\(f=g\circ T\)。
證明：我們分成兩個部分說明。
存在性：考慮函數\(T:V\to V\)為\(T(x)=f(x)-f(0)\)。則由\(f\)為剛性變換可知 \[
\|T(x)\|^2=\|f(x)-f(0)\|^2=\|x-0\|^2=\|x\|^2
\] 即若\(T\)是線性映射則\(T\)是正交的(見這裡的定理3)。又對於所有\(x,y\in V\)，有 \[
\begin{aligned}
\|T(x)-T(y)\|^2&=\|T(x)\|^2-2\langle T(x),T(y)\rangle+\|T(y)\|^2\\
&=\|f(x)-f(y)\|^2=\|x-y\|^2\\
&=\|x\|^2-2\langle x,y\rangle+\|y\|^2
\end{aligned}
\] 故\(\langle T(x),T(y)\rangle=\langle
x,y\rangle,\forall x,y\in V\)。而\(\forall a\in\mathbb{R},x,y\in V\)，有 \[
\begin{aligned}
\|T(x+ay)-T(x)-aT(y)\|^2&=\|T(x+ay)-T(x)\|^2+a^2\|T(y)\|^2-2a\langle
T(x+ay)-T(x),T(y)\rangle\\
&=\|f(x+ay)-f(x)\|^2+a^2\|y\|^2-2a\langle x+ay,y\rangle+2a\langle
x,y\rangle\\
&=\|ay\|^2+a^2\|y\|^2-2a^2\langle y,y\rangle=0
\end{aligned}
\] 故\(T(x+ay)=T(x)+aT(y)\)，即\(T\)是線性的。再令位移\(g(x)=x+f(0)\)，即有\(f=g\circ T\)。
唯一性：若存在正交線性映射\(T,U:V\to
V\)與常數\(u_0,v_0\)使得 \[
f(x)=T(x)+u_0=U(x)+v_0,\forall x\in V
\] 則考慮\(x=0\)就會有\(u_0=v_0\)，接著馬上就有\(T=U\)，即這樣的表示是唯一的。QED
\(\mathbb{R}^2\)上的正交映射
定義 4：旋轉 (Rotation)
我們稱矩陣 \[ A=\left( \begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right),\theta\in\mathbb{R} \] 所代表的線性映射為\(\mathbb{R}^2\)上的旋轉映射。
定義 5：鏡射 (Reflection)
我們稱矩陣 \[
A=\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta & \sin\theta\\
\sin\theta & -\cos\theta
\end{array}
\right),\theta\in\mathbb{R}
\] 所代表的線性映射為\(\mathbb{R}^2\)上的鏡射映射。
(這和這裡的例3-2-1定義的鏡射是同一種映射(詳略)。)
定理 6
給定正交映射\(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\)，並給定\(\mathbb{R}^2\)的標準基底\(\beta=\{e_1,e_2\}\)，令\(A=[T]_\beta\)。則\(T\)和\(A\)的狀況必恰好為以下兩種情形的其中一種：
1. \(T\)是旋轉且\(\det (A)=1\)。
2. \(T\)是鏡射且\(\det
(A)=-1\)。
證明：由這裡的定理3知\(T(\beta)=\{T(e_1),T(e_2)\}\)為正交規範的。故\(\|T(e_1)\|=1\)，可令 \[
T(e_1)=(\cos\theta,\sin\theta)
\] 則由於\(T(e_2)\)應與\(T(e_1)\)正交且\(\|T(e_2)\|=1\)，故有 \[
T(e_2)=(-\sin\theta,\cos\theta)\mbox{ or }(\sin\theta,-\cos\theta)
\] 底下分兩種狀況討論。
狀況一：\(T(e_2)=(-\sin\theta,\cos\theta)\)，則 \[
A=\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}
\right)
\] 即\(\det (A)=1\)，且\(T\)為旋轉映射。
狀況二：\(T(e_2)=(\sin\theta,-\cos\theta)\)，則 \[
A=\left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta & \sin\theta\\
\sin\theta & -\cos\theta
\end{array}
\right)
\] 即\(\det (A)=-1\)，且\(T\)為鏡射映射。QED
註記 6-1
可以注意到鏡射是自伴隨的，但旋轉不是。也就是說，\(\mathbb{R}^2\)上正交且自伴隨的映射只有鏡射一類。