線性代數：商空間

這份筆記是關於商空間的定義與泛性質，以及其與對偶空間的關聯。

商空間

定義 1：陪集 (Coset)

給定\(F\)上的向量空間\(V\)，令\(W\subseteq V\)為一子空間。我們稱 \[ v+W=\{v+w:w\in W\} \] 為\(W\)包含\(v\)的陪集。

定義 2：商空間 (Quotient Space)

給定\(F\)上的向量空間\(V\)，令\(W\subseteq V\)為一子空間。我們定義 \[ V/W=\{v+W:v\in V\} \] (陪集的集)為\(W\)的商空間。在這個空間中我們定義 \[ (v_1+W)+(v_2+W)=(v_1+v_2)+W,\;c(v_1+W)=cv_1+W \] 可以驗證在如上的運算中\(V/W\)確實是一個向量空間。

定義 2-1：商映射 (Quotient Map)

給定\(F\)上的向量空間\(V\)，令\(W\subseteq V\)為一子空間。考慮映射\(Q:V\to V/W\)為 \[ \forall v\in V, Q(v)=v+W\in V/W \] 可以驗證\(Q\)確實是線性映射，我們稱\(Q\)為商映射。

定理 3

給定\(F\)上的向量空間\(V\)，令\(W\subseteq V\)為一子空間，並令\(Q:V\to V/W\)為商映射。則\(V=W\oplus W'\) iff. \(Q_{W'}:W'\xrightarrow{\sim}V/W\)為同構映射。

證明：我們分成兩部分證明。
「\(\Rightarrow\)」：假設\(V=W\oplus W'\)，則對於所有\(\alpha\in V\)，有唯一的\(\gamma\in W\), \(\gamma'\in W'\)使得\(\alpha=\gamma+\gamma'\)。由於\(\gamma\in W\)，故 \[ Q(\alpha)=Q(\gamma)+Q(\gamma')=Q(\gamma') \] 故有\(\alpha+W=\gamma'+W\)，即任何一個\(\alpha+W\)都會被某個\(\gamma'\in W'\)打到，故知\(Q_{W'}\)是映成的。
而又若有\(\gamma_1',\gamma_2'\in W'\)使得\(Q(\gamma_1')=Q(\gamma_2')\)，則\(Q(\gamma_1'-\gamma_2')=0\)，故\(\gamma_1'-\gamma_2'\in W\)。但由直和的定義知\(W\cap W'=\{0\}\)，故\(\gamma_1'=\gamma_2'\)，即\(Q_{W'}\)是一對一的。
綜合以上，可以知道\(Q_{W'}:W'\xrightarrow{\sim}V/W\)是同構映射。
「\(\Leftarrow\)」：若\(Q_{W'}\)是同構映射，則對於所有\(\alpha\in V\)，存在\(\gamma'\in W'\)使得\(Q(\gamma')=Q(\alpha)\) i.e. \(\gamma'+W=\alpha+W\)。故有\(\alpha-\gamma'\in W\)。於是，存在\(\gamma\in W\)使得\(\alpha=\gamma+\gamma'\)。故有\(V=W+W'\)。
而若\(\gamma\in W\in W'\)，則由\(\gamma\in W\)知\(Q(\gamma)=0\)。然而由假設\(Q_{W'}\)是同構映射，故\(\gamma=0\)，即\(W\cap W'=\{0\}\)。
綜合以上，我們知道\(V=W\oplus W'\)。QED

註記 4

給定\(F\)上的向量空間\(V\)，其中\(\dim V<\infty\)。令\(W\subseteq V\)為一子空間，並令\(Q:V\to V/W\)為商映射。則易知 \[ N(Q)=W,\;R(Q)=V/W \] 故由維度定理有 \[ \dim V=\dim N(Q)+\dim R(Q)=\dim W+\dim V/W \]

定理 5

給定映成的線性映射\(T:V\to W\)。令\(V'=N(T)\)，則\(W\simeq V/V'\)。

證明：考慮映射\(U:V/V'\to W\)為 \[ \forall \alpha\in V, U(\alpha+V')=T(\alpha) \] 則我們可以推得以下幾項性質：
1. \(U\)是良好定義的：若存在\(\alpha,\beta\in V\)使得\(\alpha+V'=\beta+V'\)，則\(\alpha-\beta\in V'\)。由定義有\(T(\alpha-\beta)=0\)，即\(T(\alpha)=T(\beta)\)。故 \[ U(\alpha+V')=T(\alpha)=T(\beta)=U(\beta+V') \]
2. \(U\)是線性的：這裡的驗證是簡單的，略過。
3. \(U\)是映成的：這是顯然的，因為\(T\)是映成的。
4. \(U\)是一對一的：若存在\(\alpha,\beta\in V\)使得\(U(\alpha+V')=U(\beta+V')\)，則\(T(\alpha)=T(\beta)\) i.e. \(T(\alpha-\beta)=0\)。由定義知\(\alpha-\beta\in V'\)，即\(\alpha+V'=\beta+V'\)。
綜合以上，我們知道\(U\)是一個從\(V/V'\)到\(W\)的同構映射，故\(W\simeq V/V'\)。QED

商空間泛性質

考慮兩個向量空間\(V\)和\(V'\)，給定線性映射\(T:V\to V'\)。令\(W\subseteq N(T)\)，則有商映射\(Q:V\to V/W\)(見下圖1)。

圖1

然而，在\(V/W\)和\(V'\)之間，也會有一個線性映射。

定理 6

考慮兩個向量空間\(V\)和\(V'\)，給定線性映射\(T:V\to V'\)。令\(W\subseteq N(T)\)，有商映射\(Q:V\to V/W\)。則在\(V/W\)與\(V'\)之間，存在唯一的線性映射\(S:V/W:V'\)使得\(T=S\circ Q\)。

證明：令\(S(v+W)=T(v)\)，我們希望說明\(S\)是良好定義的。若對於\(v_1,v_2\in V\)有\(v_1+W=v_2+W\)，則\(v_1-v_2\in W\subseteq N(T)\)，故\(T(v_1-v_2)=0\)，即\(T(v_1)=T(v_2)\)，故\(S\)確是良好定義的。又顯然\(S\)是線性的，可以很容易檢驗\(S\)滿足要求\(T=S\circ Q\)。
若又有線性映射\(S'\)使得\(T=S'\circ Q\)，則對所有\(v\in V\)都有\(S(v+W)=S'(v+W)\)。然而\(Q\)是映成的，故在整個\(V/W\)上都會有\(S=S'\)，即\(S\)是唯一的。QED

註記 6-1：商空間泛性質 (Universal Property of Quotient Space)

給定線性映射\(\varphi:V\to W\)，若對於所有滿足\(N(\varphi)\subseteq N(T)\)的線性映射\(T:V\to V'\)，都存在唯一的線性映射\(S:W\to V'\)使得\(T=S\circ\varphi\)(見下圖2)，則\(W\simeq V/N(\phi)\)。

圖2

證明：我們分以下四點說明：
1. \(\varphi\)是映成的：如果有\(x\in W\)不會被\(\varphi\)打到，則應會有另一個不同的\(S'\)滿足\(T=S'\circ\varphi\)但\(S(x)\neq S'(x)\)(準確來說是\(\mbox{span}\{x\}\)都不會被\(\varphi\)打到，所以可以假設這樣的\(S'\)存在)。這與\(S\)唯一性的假設矛盾，故\(\varphi\)是映成的。
2. 令\(V'=V/N(\varphi)\)，並令\(T\)為商映射\(T=Q:V\to V/N(\varphi)\)。考慮映射\(S:W\to V'=V/N(\varphi)\)使得 \[ \forall v\in V,\; S(\varphi(v))=v+N(\varphi) \] (見下圖3)，則\(S\)是滿足要求的映射。又由假設知\(S\)唯一存在，故\(S\)只能是\(S(\varphi(v))=v+N(\varphi)\)。

圖3

3. 又由定理6知存在\(S'\)使得\(S'(v+N(\varphi))=\phi(v)\)(見下圖4)。

圖4

4. 於是，有下圖5，且 \[ \begin{aligned} S\circ S'&=S(\varphi(v))=v+N(\varphi)\\ S'\circ S&=S'(v+N(\varphi))=\varphi(v) \end{aligned} \] 即\(S\)和\(S'\)互為反函數，故\(S\)與\(S'\)都是同構映射，即\(W\simeq V/N(\varphi)\)。QED

圖5

商空間與對偶空間

定理 7

給定\(W\subseteq V\)為向量空間與其子空間，則 \[ \left(V/W\right)^\ast\simeq\left\{l\in V^\ast:l|_W=0\;(V^\ast\mbox{中的零映射})\right\}\subseteq V^\ast \]

證明：令\(Q:V\to V/W\)為商映射，而\(Q^t:(V/W)^\ast\to V^\ast\)為其轉置映射(見這裡的定理3)。我們分以下兩點說明此定理。
1. 我們希望說明\(Q^t\)是一對一的。考慮\(Q^t\)的核，若存在\(l\in(V/W)^\ast\)使得\(Q^t(l)=0\in V^\ast\)，則對於所有\(v\in V\)有\(Q^t(l)(v)=0\)。則 \[ \begin{aligned} Q^t(l)(v)&=l(Q(v))=0\\ &=l(v+W)\;,\forall v\in V \end{aligned} \] 故知\(l\)是零映射，即\(Q^t\)確是一對一的。也就是說，\(Q^t\)是\((V/W)^\ast\)到\(R(Q^t)\)的同構映射，即\((V/W)^\ast\simeq R(Q^t)\)。
2. 我們希望說明\(R(Q^t)=\{l\in V^\ast:l|_W=0\}\)。因為\(Q^t\)是同構映射，故對於所有\(l\in R(Q^t)\)，存在\(s\in(V/W)^\ast\)使得\(l=Q^t(s)\)。故對於所有\(w\in W\subseteq V\)，有 \[ l(w)=Q^t(s)(w)=s(Q(w))=s(w+W)=s(0+W)=0 \] 因為\(0+W\)是\(V/W\)中的零元素。故有\(R(Q^t)\subseteq\{l\in V^\ast:l|_W=0\}\)。
又若給定\(l\in V^\ast\)使得\(l|_W=0\)，則易知\(W\subseteq N(l)\)。由定理6知存在唯一的\(S:V/W\to F\)使得\(l=S\circ Q=Q^t(S)\)(見下圖6)。

圖6

故\(\{l\in V^\ast:l|_W=0\}\subseteq R(Q^t)\)。
綜合1.與2.，有 \[ (V/W)^\ast\simeq R(Q^t)=\{l\in V^\ast:l_|W=0\} \] QED

推論 7-1

若\(A\in M_{m\times n}(F)\)，則\(\mbox{rank}(A)=\mbox{rank}(A^t)\)(這是這裡的推論10-2)。

證明：令線性映射\(T:V_1=F^n\to V_2=F^m\)為 \[ \forall v\in F^n, T(v)=Av\in F^m \] 並令\(T^t:V_2^\ast\to V_1^\ast\)為其轉置映射。則 \[ \mbox{rank}(A)=\mbox{rank}(T)=\dim R(T),\mbox{rank}(A^t)=\mbox{rank}(T^t)=\dim R(T^t) \] (見這裡的定理3)，而 \[ \begin{aligned} (V_2/R(T))^\ast&=\{l\in V_2^\ast:l|_{R(T)}=0\;(\mbox{i.e. }l(T(v))=0,\forall v\in V_1)\}\\ &=\{l\in V_2^\ast:T^t(l)(v)=0,\forall v\in V_1\}\\ &=N(T^t) \end{aligned} \] 則 \[ \begin{aligned} \dim (V_2/R(T))^\ast&=\dim(V_2/R(T))=\dim V_2-\dim R(T)\\ &=\dim N(T^t)=\dim V_2^\ast-\dim R(T^t) \end{aligned} \] (第一行式子是來自註記4)。又\(\dim V_2=\dim V_2^\ast\)，故\(\dim R(T)=\dim R(T^t)\)，即\(\mbox{rank}(A)=\mbox{rank}(A^t)\)。QED

定理 8

給定\(F\)上的向量空間\(V\)，其中\(\dim V=n<\infty\)。令\(\{l_1,l_2,\cdots,l_k\}\subseteq V^\ast\)是線性獨立的。則對任何\(b_1,b_2,\cdots,b_k\in F\)，存在\(v\in V\)使得 \[ l_1(v)=b_1,l_2(v)=b_2,\cdots,l_k(v)=b_k \]

證明：令\(T:V\to F^k\)為 \[ \forall v\in V,T(v)=(l_1(v),l_2(v),\cdots,l_k(v) \] 則\(N(T)=\{v\in V:l_1(v)=l_2(v)=\cdots=l_k(v)=0\}\)。令\(W\)為 \[ W=\mbox{span}_F\{l_1,l_2,\cdots,l_k\} \] 並考慮一對一映射\(i:W\to V^\ast\)，其中\(\forall w\in W,i(w)=w\in V^\ast\)。又考慮\(\Psi:V\to V^{\ast\ast}\)使得 \[ \forall v\in V, \Psi(v)=\hat{v} \] (這是取值映射，見這裡的定義4與定理6)。則有如下圖7的關係。

圖7

這裡\(\hat{v}i:W\to F\)是\(W^\ast\)中的線性映射，故\(\hat{v}i(w)\)代表的是\(F\)中的值\(w(v)\)。故由\(\{l_1,l_2,\cdots,l_k\}\subseteq V^\ast\)線性獨立知 \[ \begin{aligned} N(i^t)&=\{\hat{v}\in V^{\ast\ast}:\hat{v}i=0\}\\ &\simeq\{v\in V:l_1(v)=l_2(v)=\cdots=l_k(v)=0\}\\ &=N(T) \end{aligned} \] 而又由\(i\)是一對一知 \[ \begin{aligned} k&=\dim W\\ &=\dim R(i)\\ &=\dim R(i^t)\\ &=\dim V-\dim N(i^t)\\ &=\dim V-\dim N(T)=\dim R(T) \end{aligned} \] (\(\dim R(i)=\dim R(i^t)\)來自註記7-1)。故知\(T\)是映成的。故一定存在\(v\in V\)使得 \[ l_1(v)=b_1,l_2(v)=b_2,\cdots,l_k(v)=b_k \] QED