這份筆記是關於對偶空間的定義與性質。
這裡的行與列依循的是台灣的翻譯習慣，即行對應到英文的Column，而列對應到英文的Row。
對偶空間
定義 1：對偶空間 (Dual Space)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)。由這裡的定理4-1與定義4-1-1知所有\(V\)到\(F\)的線性映射構成一個\(F\)上的向量空間。令\(V\)的對偶空間為 \[ V^\ast=\mathscr{L}(V,F) \]
定義 1-1：雙對偶空間 (Double Dual Space)
我們將 \[ V^{\ast\ast}=(V^\ast)^\ast \] 稱為\(V\)的雙對偶空間。
定理 2
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，其中\(\dim V=n<\infty\)。令\(\beta=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\)是\(V\)的有序基底，且定義線性映射\(f_i:V\to F\)為\(f_i(x_j)=\delta_{ij}\)(這裡是克羅內克記號)，即若\(x\in V\)可表為 \[ x=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n \] 則\(f_i(x)=a_i\)。令\(\beta^\ast=\{f_1,f_2,\cdots,f_n\}\)，則\(\beta^\ast\)是\(V^\ast\)的有序基底，且對所有\(f\in V^\ast\)都有 \[ f=\sum_{i=1}^n f(x_i)f_i\mbox{ (☆)} \]
證明：由這裡的定理4知\(\dim V^\ast=n\)，故我們只要說明\(V^\ast=\mbox{span}(\beta^\ast)\)就好。
令\(g=\sum\limits_{i=1}^n
f(x_i)f_i\)，則 \[
g(x_j)=\sum_{i=1}^nf(x_i)f_i(x_j)=f(x_j)
\] 故確實有\(g\equiv
f\)，即\(f\)確實可表為(☆)的形式，且\(\beta^\ast\)也確實為\(V^\ast\)的基底。QED
定義 2-1：對偶基底 (Dual Basis)
我們稱定理2中的\(\beta^\ast\)為\(V^\ast\)的對偶基底。
定理 3
給定\(F\)上的向量空間\(V,W\)，其中\(\dim V,\dim W<\infty\)。並令\(\beta,\gamma\)分別為\(V,W\)的有序基底。給定線性映射\(T:V\to W\)，則定義映射\(T^t:W^\ast\to V^\ast\)為 \[ \forall g\in W^\ast\;\;(g:W\to F),\;T^t(g)=gT\in V^\ast\;\;(gT:V\to F) \] 則\(T^t\)是線性映射且 \[ [T^t]_{\gamma^\ast}^{\beta^\ast}=\left([T]_\beta^\gamma\right)^t \]
證明：對於所有\(h_1,h_2\in W^\ast\)和\(c\in F\)，有 \[
T^t(ch_1+h_2)=(ch_1+h_2)T=ch_1T+h_2T=cT^t(h_1)+T^t(h_2)
\] 故\(T^t\)確實是線性映射。
接著，令 \[
\beta=\{x_1,\cdots,x_n\}, \gamma=\{y_1,\cdots,y_m\},
\beta^\ast=\{f_1,\cdots,f_n\}, \gamma^\ast=\{g_1,\cdots,g_m\}
\] 則對於某個\(g_j\)，若有 \[
T^t(g_j)=g_jT=a_1f_1+a_2f_2+\cdots+a_nf_n
\] 則\([T^t]^{\beta^\ast}_{\gamma^\ast}\)的\(ij\)元就是\(a_i\)。故 \[
T^t(g_j)=g_j(T)=\sum_{i=1}^n\underbrace{(g_jT)(x_i)}_{[T^t]^{\beta^\ast}_{\gamma^\ast}\mbox{的}ij\mbox{元}}f_i
\] 而記\([T]^\gamma_\beta\)的\(ki\)元為\(A_{ki}\)，有 \[
(g_jT)(x_i)=g_j(T(x_i))=g_j\left(\sum_{k=1}^m
A_{ki}y_k\right)=\sum_{k=1}^m A_{ki}\delta_{jk}=A_{ji}
\] 故有 \[
[T^t]_{\gamma^\ast}^{\beta^\ast}=\left([T]_\beta^\gamma\right)^t
\] QED
定義 4：取值映射 (Evaluation Mapping)
對於\(x\in V\)，定義映射\(\hat{x}:V^\ast\to F\)為 \[ \forall f\in V^\ast\;\;(f:V\to F),\;\hat{x}(f)=f(x)\in F \]
註記 4-1
定義4中的\(\hat{x}\)是線性映射。
證明：對於所有\(f,g\in V^\ast\)與\(a\in F\)，有 \[ \hat{x}(af+g)=(af+g)(x)=af(x)+g(x)=a\hat{x}(f)+\hat{x}(g) \] 於是知\(\hat{x}\)是線性映射。QED
註記 4-2
有\(\hat{x}\in(V^\ast)^\ast=V^{\ast\ast}\)。
引理 5
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，其中\(\dim
V<\infty\)。給定\(x\in
V\)，若\(\forall f\in V^\ast\),
\(\hat{x}(f)=0\)，則\(x=0\)。
證明：若\(x\neq 0\)，則選擇一個\(V\)的有序基底\(\beta=\{x=x_1,x_2,\cdots,x_n\}\)，且令其對應到的對偶基底為\(\beta^\ast=\{f_1,f_2,\cdots,f_n\}\)。則由定義 \[ \hat{x}(f_1)=f_1(x_1)=1 \] 這與假設矛盾，故應有\(x=0\)。QED
定理 6
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，其中\(\dim
V<\infty\)。定義映射\(\Psi:V\to
V^{\ast\ast}\)為 \[
\forall x\in V, \Psi(x)=\hat{x}
\] 則\(\Psi\)是同構映射。
證明：我們需要檢查\(\Psi\)是線性且是一對一的(因為\(\dim V^{\ast\ast}=\dim V^\ast=\dim
V\)，故由這裡的定理10知只要\(\Psi\)是一對一就自動是映成的了)
1.
\(\Psi\)是線性的：給定\(f\in V^\ast\), \(x,y\in V\), \(c\in F\)。有 \[
\begin{aligned}
\Psi(cx+y)(f)&=(\widehat{cx+y})(f)\\
&=f(cx+y)=cf(x)+f(y)\\
&=c\hat{x}(f)+\hat{y}(f)=(c\Psi(x)+\Psi(y))(f)
\end{aligned}
\] 即\(\Psi(cx+y)=c\Psi(x)+\Psi(y)\) i.e. \(\Psi\)是線性的。
2. \(\Psi\)是一對一的：考慮\(x\in N(\Psi)\) i.e. \(\Psi(x)=0\in V^{\ast\ast}\)，則 \[
\Psi(x)=0\in V^{\ast\ast}\Leftrightarrow\Psi(x)=\hat{x}=0\in
V^{\ast\ast}\Leftrightarrow\forall f\in V^\ast, \hat{x}(f)=0
\] 由引理5知這等價於\(x=0\)，故由這裡的定理9知\(\Psi\)是一對一的。
由以上兩點可知\(\Psi\)確為同構映射。QED
註記 7
當\(\dim V=\infty\)時，我們不一定會有\(\dim V=\dim V^\ast\)。(其實這裡需要用「勢」(Cardinality)去重新定義\(V\)的維度，在此按下不表。)