這份筆記是關於矩陣的有理典型形式的存在性。
這裡的行與列依循的是台灣的翻譯習慣，即行對應到英文的Column，而列對應到英文的Row。
記號約定
定義 1：可約多項式 (Reducible Polynomial)
給定係數都在\(F\)中的多項式\(f(x)\)。若能找到兩個係數都在\(F\)中且次數都大於\(1\)的多項式\(g(x),h(x)\)使得\(f(x)=g(x)h(x)\)，則稱\(f(x)\)是可約的。否則稱\(f(x)\)是不可約的(Irreducible)。
定義 2
給定線性映射\(T:V\to V\)，其中\(\dim V<\infty\)。令\(T\)的特徵多項式為 \[ (-1)^n(\phi_1(t))^{n_1}(\phi_2(t))^{n_2}\cdots(\phi_k(t))^{n_k} \] 其中\(\phi_i(t)\)是不可約多項式。則令 \[ K_{\phi_i}=\{x\in V:(\phi_i(T))^p(x)=0,\mbox{ for some integer }p>0\} \]
註記 2-1
很容易可以發現\(K_{\phi_i}\)是\(V\)的\(T\)-不變子空間。
定義 3：循環基底 (Cyclic Basis)
給定線性映射\(T:V\to V\)與\(0\neq x\in V\)，其中\(\dim V<\infty\)。我們記由\(x\)生成的\(T\)-循環子空間為\(C_x\)。令\(\dim C_x=k\)，則應有 \[ C_x=\mbox{span}\{x,T(x),T^2(x),\cdots,T^{k-1}(x)\} \] 由這裡的定理12知\(\{x,T(x),T^2(x),\cdots,T^{k-1}(x)\}\)是線性獨立的。我們令 \[ \beta_x=\{x,T(x),T^2(x),\cdots,T^{k-1}(x)\} \] 為由\(x\)生成的\(T\)-循環基底。
定義 4：相伴矩陣 (Companion Matrix)
給定線性映射\(T:V\to V\)與\(0\neq x\in V\)，其中\(\dim V<\infty\)。對於\(T\)-循環空間\(C_x\)與其\(T\)-循環基底\(\beta_x\)，令 \[ A=[T_{C_x}]^{\beta_x}_{\beta_x}=\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_1\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{k-1} \end{array} \right) \] 其中最後一行的係數來自 \[ T(T^{k-1}(x))=T^k(x)=-a_0x-a_1T(x)-\cdots-a_{k-1}T^{k-1}(x) \] 如上的矩陣\(A\)稱為多項式 \[ h(t)=a_0+a_1t+\cdots+a_{k-1}t^{k-1}+t^k \] 的相伴矩陣。
註記 4-1
沿用定義4的符號，很容易可以計算出 \[ A\mbox{的特徵多項式}=\det(A-tI)=(-1)^k(a_0+a_1t+\cdots+a_{k-1}t^{k-1}+t^k) \]
有理典型形式
定義 5：有理典型形式 (Rational Canonical Form)
給定線性映射\(T:V\to V\)與\(0\neq x\in V\)，其中\(\dim V<\infty\)。若有\(T\)的基底\(\beta\)使得 \[ [T]^\beta_\beta=\left( \begin{array}{cccc} C_1 & & & 0\\ & C_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & C_r \end{array} \right) \] 其中\(C_i\)是某個\(\phi(t)^n\)的相伴矩陣，且\(\phi\)是\(T\)的特徵多項式的某個不可約因式(\(n\)不一定要等於定義2中的\(n_i\))，則稱\([T]^\beta_\beta\)是\(T\)的有理典型形式。
定義 5-1：有理典型基底 (Rational Canonical Basis)
我們稱定義5中的\(\beta\)為有理典型基底。
定義 6：首一多項式 (Monic Polynomial)
即領導係數為\(1\)的多項式。
引理 7
給定線性映射\(T:V\to V\)與\(0\neq x\in V\)，其中\(\dim V<\infty\)。假設\(x\)的\(T\)-消除子可以被表為\((\phi(t))^p\)的形式，其中\(\phi(t)\)為不可約的首一多項式且\(p>0\)。則\(\phi(t)\)整除\(T\)的最小多項式，且\(x\in K_\phi\)。
證明：由這裡的性質7-2，我們知道\((\phi(t))^p\)整除\(T\)的最小多項式。故\(\phi(t)\)也應整除\(T\)的最小多項式。且從\(K_\phi\)的定義直接會有\(x\in K_\phi\)。QED
註記 8
給定線性映射\(T:V\to V\)，其中\(\dim V<\infty\)。令\(\beta\)是\(V\)的基底，則\(\beta\)是有理典型基底 iff. \(\beta\)是許多\(T\)-循環基底\(\beta_{v_i}\)的互斥聯集，其中\(v_i\in K_{\phi_j}\)，而\(\phi_j\)是某個首一不可約多項式。
定理 9
給定線性映射\(T:V\to V\)，其中\(\dim V<\infty\)。令\(T\)的最小多項式為 \[
p(t)=(\phi_1(t))^{m_1}(\phi_2(t))^{m_2}\cdots(\phi_k(t))^{m_k}
\] 其中\(\phi_i\)是相異的不可約多項式。則
1.
\(K_{\phi_i}\neq\{0\}\)是\(T\)-不變的。
2. 給定\(0\neq x\in K_{\phi_i}\)，則\(x\)的\(T\)-消除子會形如\((\phi_i(t))^p\)。
3. 若\(i\neq j\)，則\(K_{\phi_i}\cap K_{\phi_j}=\{0\}\)。
4.
當\(i\neq j\)時\(K_{\phi_i}\)是\(\phi_j(T)\)-不變的，且 \[
\phi_j(T)_{K_{\phi_i}}:K_{\phi_i}\xrightarrow{\sim}K_{\phi_i}
\] 是同構映射(一對一且映成)。(其實\(i=j\)時\(K_{\phi_i}\)也是\(\phi_i(T)\)-不變的，但這就很無聊。)
5.
對於所有\(i\)，有\(K_{\phi_i}=N(\phi_i(T)^{m_i})\)。
證明：若\(k=1\)，則以上五點都是顯然的。我們底下假設\(k>1\)。
1. 由註記2-1就已經知道\(K_{\phi_i}\)是\(T\)-不變的了。由引理7知可以令 \[
f_i(t)=\frac{p(t)}{(\phi_i(t))^{m_i}}
\] 是一多項式。由於\(f_i\)自己不是最小多項式(其次數低於\(p\))，故應存在\(z\in V\)使得\(f_i(T)(z)\neq 0\)。令\(x=f_i(T)(z)\)，我們知道 \[
(\phi_i(T))^{m_i}(x)=p(T)(x)=0
\] 故\(0\neq x\in
K_{\phi_i}\)，即\(K_{\phi_i}\neq\{0\}\)。
2. 對於\(0\neq x\in K_{\phi_i}\)，由定義知存在\(q>0\)使得 \[
(\phi_i(T))^q(x)=0
\] 故由這裡的性質7-2知\(x\)的\(T\)-消除子會整除\((\phi_i(T))^q\)，故其也會是\((\phi_i(t))^p\)的形式。
3. 若有\(0\neq x\in K_{\phi_i}\cap
K_{\phi_j}\)，則由第2.點知 \[
x\mbox{的}T\mbox{-消除子}=(\phi_i(t))^{p_i}=(\phi_j(t))^{p_j}
\] 由\(\phi_i,\phi_j\)不可約與消除子的唯一性(這裡的性質7-1)知這是矛盾的。故\(K_{\phi_i}\cap K_{\phi_j}=\{0\}\)。
4.
由\(K_{\phi_i}\)是\(T\)-不變的可知\(K_{\phi_i}\)也是\(\phi_j(T)\)-不變的。給定\(x\in K_{\phi_i}\)，若\(\phi_j(x)=0\)，則\(x\in K_{\phi_i}\cap
K_{\phi_j}\)。由第3.點知\(x=0\)，故\(\phi_j(T)_{K_{\phi_i}}\)是一對一的(這裡的定理9)。而又這裡的定理10知\(\phi_j(T)_{K_{\phi_i}}\)也是映成的，故其為同構映射。
5.顯然\(N(\phi_i(T)^{m_i})\subseteq
K_{\phi_i}\)。沿用第1.點中的符號，考慮\(f_i(T)_{K_{\phi_i}}\)，由第4.點知其為\(K_{\phi_i}\to
K_{\phi_i}\)的同構映射。意即對於\(x\in
K_{\phi_i}\)，存在\(y\in
K_{\phi_i}\)使得\(f_i(T)(y)=x\)。即 \[
(\phi_i(T))^{m_i}(x)=p(T)(y)=0
\] 故知\(x\in
N(\phi_i(T)^{m_i})\)，即\(K_{\phi_i}\subseteq
N(\phi_i(T)^{m_i})\)。綜合以上即有\(K_{\phi_i}=N(\phi_i(T)^{m_i})\)。QED
引理 10
給定線性映射\(T:V\to V\)，其中\(\dim V<\infty\)。令\(T\)的最小多項式為 \[
p(t)=(\phi_1(t))^{m_1}(\phi_2(t))^{m_2}\cdots(\phi_k(t))^{m_k}
\] 其中\(\phi_i\)是相異的首一不可約多項式。若\(v_i\in K_{\phi_i}\)且 \[
v_1+v_2+\cdots+v_k=0
\] 則對於所有\(i\)有\(v_i=0\) i.e. \[
K_{\phi_1}+K_{\phi_2}+\cdots+K_{\phi_k}=K_{\phi_1}\oplus
K_{\phi_2}\oplus\cdots\oplus K_{\phi_k}
\] (可以參見這裡的定理14-1。)
證明：若\(k=1\)，則結論是顯然的。若\(k>1\)，則沿用定理9的符號，考慮兩個映射 \[ f_i(T)_{K_{\phi_i}}:K_{\phi_i}\xrightarrow{\sim}K_{\phi_i}, f_i(T)_{K_{\phi_j}}:K_{\phi_j}\rightarrow K_{\phi_j} \] 其中\(i\neq j\)。然而由定理9第5.點知\(K_{\phi_j}=N((\phi_j(T))^{m_j})\)。故對於所有\(x\in K_{\phi_j}\)，有\(f_i(T)(x)=0\)(這可以從\(f_i\)的定義得知)。故 \[ \forall i\neq j, v_j\in K_{\phi_j}, f_i(T)(v_j)=0 \] 故對於\(v_j\in K_{\phi_j}\)，有 \[ f_i(T)(v_1+v_2+\cdots+v_{i-1}+v_{i+1}+\cdots+v_k)=0 \] 然而由假設\(v_1+v_2+\cdots+v_k=0\)，故\(f_i(T)(-v_i)=0\)。然而\(f_i(T)_{K_{\phi_i}}\)是一對一的，故\(v_i=0\)。QED
定理 11
給定線性映射\(T:V\to V\)，其中\(\dim V<\infty\)。令\(T\)的最小多項式為 \[
p(t)=(\phi_1(t))^{m_1}(\phi_2(t))^{m_2}\cdots(\phi_k(t))^{m_k}
\] 其中\(\phi_i\)是相異的首一不可約多項式。給定\(K_{\phi_i}\)的線性獨立的子集\(S_i\)，則
1. \(\forall i\neq j\), \(S_i\cap S_j\)
2. \(S_1\cup S_2\cup\cdots\cup
S_k\)是線性獨立的。
證明：
1. 由定理9第3.點易得。
2. 由引理10可得(這也可以參見這裡的定理14-1)。QED
定理 12
給定線性映射\(T:V\to V\)，其中\(\dim V<\infty\)。令\(\phi\)為\(T\)的最小多項式的某個首一不可約因式(i.e.
\(K_\phi\neq\{0\}\)，見定理9第1.點)。令\(v_1,v_2,\cdots,v_k\in
K_\phi\)為相異的向量(所以由定理9第2.點知\(v_i\)的\(T\)-消除子會形如\((\phi(t))^{l_i}\)。)使得\(S_1=\beta_{v_1}\cup\beta_{v_2}\cup\cdots\cup\beta_{v_k}\)是線性獨立的(定理11的第2.點)。且若對於所有\(i\)，存在\(w_i\in
V\)使得\(\phi(T)(w_i)=v_i\)，則
\[
S_2=\beta_{w_1}\cup\beta_{w_2}\cup\cdots\cup\beta_{w_k}
\] 也是線性獨立的。
證明：考慮\(w_i\)的\(T\)-循環基底\(\{w_i,T(w_i),\cdots,T^{n_i}(w_i)\}\)。再考慮\(S_2\)中的元素的線性組合 \[ \sum_{i=1}^k\left(\sum_{j=0}^{n_i}a_{ij}T^j(w_i)\right)=0\mbox{ (☆)} \] (參考前面\(\beta_{w_i}\)的定義，見定義3)，令 \[ f_i(t)=\sum_{j=0}^{n_i}a_{ij}t^j \] 則 \[ \sum_{i=1}^k f_i(T)(w_i)=0 \] 故 \[ 0=\phi(T)\left(\sum_{i=1}^k f_i(T)(w_i)\right)=\sum_{i=1}^k f_i(T)\phi(T)(w_i)=\sum_{i=1}^k f_i(T)(v_i) \] 且\(f_i(T)(v_i)\in \mbox{span}(\beta_{v_i})\)，故對所有\(i\)，有\(f_i(T)(v_i)=0\)(因為\(S_1\)線性獨立)。又\(\phi(t)\)整除\(v_i\)的\(T\)-消除子，且\(v_i\)的\(T\)-消除子整除\(f_i(t)\)(因為\(f_i(T)(v_i)=0\)，見這裡的性質7-2)。故存在多項式\(g_i(t)\)使得\(f_i(t)=\phi(t)g_i(t)\)。故 \[ 0=\sum_{i=1}^k f_i(T)(w_i)=\sum_{i=1}^k g_i(T)\phi(T)(w_i)=\sum_{i=1}^k g_i(T)(v_i) \] 又\(g_i(T)(v_i)\in\mbox{span}(\beta_{v_i})\)，故對於所有\(i\)有\(g_i(T)(v_i)=0\)(因為\(S_1\)線性獨立)。故\(f_i(T)(w_i)=0\)。又\(\{w_i,T(w_i),\cdots,T^{n_i}(w_i)\}\)是線性獨立的，故在上面的(☆)式中有\(a_{ij}=0\), \(\forall i,j\)，即\(S_2\)是線性獨立的。QED
引理 13
給定線性映射\(T:V\to V\)，其中\(\dim V<\infty\)。令\(\phi\)為\(T\)的最小多項式的某個首一不可約因式，且令\(W\subseteq K_\phi\)為\(T\)-不變子空間，並令\(\beta\)是\(W\)的基底，則
1. 對於\(x\in N(\phi(T)), x\notin W\)，\(\beta\cup\beta_x\)是線性獨立的。
2.
對於\(w_1,w_2,\cdots,w_s\in
N(\phi(T))\)，\(\beta\)可以被擴張成 \[
\beta'=\beta\cup\beta_{w_1}\cup\beta_{w_2}\cup\cdots\cup\beta_{w_s}
\] 使得\(\mbox{span}(\beta')\)包含\(N(\phi(T))\)(很容易可以知道\(\mbox{span}(\beta')\)是\(T\)-不變的且\(\mbox{span}(\beta')\subseteq
K_\phi\))。
證明：
1. 令\(\beta=\{v_1,v_2,\cdots,v_k\}\)是\(W\)的基底。對於\(x\in N(\phi(T))\)，假設 \[
\sum_{i=1}^k a_iv_i+z=0, z=\sum_{j=0}^{d-1}b_jT^j(x),
d=\deg\phi(t)\mbox{ (★)}
\] 則由定義知\(z\in C_x\cap
W\)，假設\(z\neq 0\)。則\(C_z\subseteq C_x\cap W\)(\(C_x\)本來就是\(T\)-循環子空間，而\(W\)又是\(T\)-不變的。)又因為\(\phi(T)(x)=0\)，故\(\phi(T)(C_x)=\{0\}\)。又因\(z\in C_x\)，故\(\phi(T)(z)=0\)。然而\(\phi(t)\)是不可約的，故\(z\)的\(T\)-消除子應是\(1\)或是\(\phi(t)\)，但顯然不是\(1\)(因為\(z\neq
0\))，故\(z\)的\(T\)-消除子是\(\phi(t)\)。故 \[
d=\dim(C_z)\leq\dim(C_x\cap W)\leq\dim(C_x)=d
\] 故中間每一個小於等於都應該是等於。故\(C_x=C_x\cap W\)，即\(x\in W\)。矛盾。故應有\(z=0\)。而從\(z\)的定義式中會有\(b_j=0,\forall j\)，故在上(★)式中\(a_i=0\), \(\forall i\)。
2.
由第1.點顯然可得。QED
定理 14
給定線性映射\(T:V\to V\)，其中\(\dim V<\infty\)。令\(p(t)=(\phi(t))^m\)為\(T\)的最小多項式，其中\(\phi\)是首一不可約的，則\(T\)可表為有理典型形式。
證明：我們對\(m\)做數學歸納法。
1. 當\(m=1\)時，\(p(t)=\phi(t)\)，故\(V=N(\phi(T))=K_\phi\)。令\(W=\{0\}\)，則\(W\subseteq K_\phi=V\)是\(T\)-不變的。由引理13第2.點，我們知道存在
\[
\beta'=\beta_{w_1}\cup\beta_{w_2}\cup\cdots\cup\beta_{w_s}
\] 使得\(\mbox{span}(\beta')\)包含\(N(\phi(T))=V\)。故當\(m=1\)時，\(T\)有有理典型形式(註記8)。
2.
假設當\(k<m\)時定理都成立(即\(p(t)=(\phi(t))^k\)時\(T\)都可表為有理典型形式。)則假設\(T\)的最小多項式為\(p(t)=(\phi(t))^m\)。顯然\(R(\phi(T))\)是\(T\)-不變的，則考慮映射\(T_{R(\phi(T))}:R(\phi(T))\to
R(\phi(T))\)。易知\(T_{R(\phi(T))}\)的最小多項式是\((\phi(t))^{m-1}\)。由歸納假設，存在\(v_1,v_2,\cdots,v_k\in R(\phi(T))\)使得
\[
\mbox{span}(\beta_{v_1}\cup\beta_{v_2}\cup\cdots\cup\beta_{v_k})=R(\phi(T))
\] 其中\(\beta_{v_1}\cup\beta_{v_2}\cup\cdots\cup\beta_{v_k}\)是\(R(\phi(T))\)的基底。則由定理12，令\(v_i=\phi(T)(w_i)\)，則\(\beta_{w_1}\cup\beta_{w_2}\cup\cdots\cup\beta_{w_k}\)是線性獨立的。令
\[
\beta=\beta_{w_1}\cup\beta_{w_2}\cup\cdots\cup\beta_{w_k}
\] 並令\(W=\mbox{span}(\beta)\)。則\(R(\phi(T))\subseteq W\)(因為\(R(\phi(T))\)中的所有元素都可表為\(\beta_{v_1}\cup\beta_{v_2}\cup\cdots\cup\beta_{v_k}\)中元素的線性組合，而\(v_i=\phi(T)(w_i)\)，故應有\(v_i\in\mbox{span}(\beta_{w_i})\)，於是有\(R(\phi(T))\subseteq W\))，且\(W\subseteq
K_\phi=V\)。故由引理13第2.點知可以把\(\beta\)擴張成線性獨立的 \[
\beta'=\beta_{w_1}\cup\beta_{w_2}\cup\cdots\cup\beta_{w_k}\cup\beta_{w_{k+1}}\cup\cdots\cup\beta_{w_s}
\] 其中\(w_{k+1},\cdots,w_s\in
N(\phi(T))\)且\(w_{k+1},\cdots,w_s\notin W\)。且可以滿足
\[
N(\phi(T))\subseteq\mbox{span}(\beta')\equiv W'
\] 且會有\(R(\phi(T))\subseteq
W\subseteq W'\)。我們希望說明\(W'=V\)。
考慮\(U=\phi(T)_{W'}:W'\to
W'\)(由引理13第2.點知\(W'\)是\(T\)-不變的)。則由\(R(\phi(T))\subseteq W'\)知\(R(U)=R(\phi(T))\)，且由\(N(\phi(T))\subseteq W'\)有 \[
N(U)=N(\phi(T))\cap W'=N(\phi(T))
\] 故 \[
\dim
W'=\mbox{rank}(U)+\mbox{nullity}(U)=\mbox{rank}(\phi(T))+\mbox{nullity}(\phi(T))=\dim
V
\] 但\(W'\subseteq
V\)，故\(W'=V\)。即\(\beta'\)是\(V\)的基底，其為\(T\)的有理典型基底。
由數學歸納法，我們知道對任何\(m\)，\(T\)都可表為有理典型形式。QED
定理 15
給定線性映射\(T:V\to V\)，其中\(\dim V<\infty\)。令 \[
p(t)=(\phi_1(t))^{m_1}(\phi_2(t))^{m_2}\cdots(\phi_k(t))^{m_k}
\] 為\(T\)的最小多項式，其中\(\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_k\)是首一不可約且兩兩相異的多項式，則\(T\)可表為有理典型形式。
證明：我們對\(k\)做數學歸納法。
1. \(k=1\)時就是定理14，已經處理完了。
2.
假設定理在\(1\sim
k-1\)時都成立，則令\(W=R((\phi_k(T))^{m_k})\)，易知\(W\)是\(T\)-不變的，故可以考慮線性映射\(U=T_W:W\to W\)。令\(q(t)\)是\(U\)的最小多項式，則由這裡的定理2知\(q(t)|p(t)\)。
假設\(\phi_k(t)|q(t)\)，則存在\(0\neq x\in W\)使得\(\phi_k(T)(x)=0\)(定理9第1.點表示\(K_{\phi_k}\)有非零元素)，且存在\(y\in V\)使得\(x=(\phi_k(T))^{m_k}(y)\)(這來自\(W\)的定義)。則 \[
\phi_k(T)(x)=(\phi_k(T))^{m_k+1}(y)=0
\] 故\(y\in
K_{\phi_k}=N((\phi_k(T))^{m_k})\)(定理9第5.點)。然而這導致 \[
x=(\phi_k(T))^{m_k}(y)=0
\] 矛盾。故\(\phi_k\nmid
q(t)\)。由此與\(q(t)|p(t)\)知\(q(t)\)相異首一不可約因式數少於\(k\)個。
於是，我們可以在這裡使用歸納假設。我們知道\(U\)有有理典型基底\(\beta_1\)，其為多個\(U\)-循環基底的互斥聯集。而把定理14用在\(T_{K_{\phi_k}}\)上，我們知道\(K_{\phi_k}\)有有理典型基底\(\beta_2\)，其為多個\(T\)-循環基底的互斥聯集。由定理11知\(\beta_1,\beta_2\)互斥且\(\beta_1\cup\beta_2\)是線性獨立的。令\(\beta+\beta_1\cup\beta_2\)。則 \[
\begin{aligned}
|\beta|&=|\beta_1|+|\beta_2|\\
&=\dim(R((\phi_k(T))^{m_k}))+\dim(K_{\phi_k})\\
&=\dim(R((\phi_k(T))^{m_k}))+\dim(N((\phi_k(T))^{m_k}))\\
&=\dim V
\end{aligned}
\] 故\(\beta\)為\(V\)的基底，且其為\(T\)的有理典型基底。
由數學歸納法，我們知道對所有\(k\)，\(T\)都可表為有理典型形式。QED
定理 16
給定線性映射\(T:V\to V\)，其中\(\dim V=n<\infty\)。令 \[
f(t)=(-1)^n(\phi_1(t))^{n_1}(\phi_2(t))^{n_2}\cdots(\phi_k(t))^{n_k}
\] 為\(T\)的特徵多項式，其中\(\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_k\)是首一不可約且兩兩相異的多項式，則
1. 對於所有\(i\)，\(\phi_i\)是\(T\)的最小多項式的因式。
2. \(\dim K_{\phi_i}=n_i\deg \phi_i\)
3.
令\(\beta\)為\(T\)的有理典型基底，則\(\beta\cap K_{\phi_i}\)是\(K_{\phi_i}\)的基底。
4. 若\(\gamma_i\)是\(K_{\phi_i}\)的基底，則\(\gamma=\gamma_1\cup\gamma_2\cup\cdots\cup\gamma_k\)是\(V\)的基底。
證明：
1.
由定理15，存在有理典型基底\(\beta\)使得\([T]^\beta_\beta=C\)為有理典型形式。故 \[
\begin{aligned}
T\mbox{的特徵多項式}&=C\mbox{的特徵多項式 (✪)}\\
&=C\mbox{中所有相伴矩陣的特徵多項式的乘積}
\end{aligned}
\] ((✪)處可以參見這裡的註記4-2)。故\(\phi_i(t)\)至少整除一個相伴矩陣的特徵多項式，而該特徵多項式應形如\((\phi_i(t))^{m_i}\)(見定義4中相伴矩陣的定義)。而由定理9第2.點知對於\(0\neq x\in K_{\phi_i}\)，\(x\)的\(T\)-消除子會形如\((\phi(t))^\alpha\)。故由這裡的性質7-2知\((\phi_i(t))^\alpha\)整除\(T\)的最小多項式，即\(\phi_i(t)\)整除\(T\)的最小多項式。
2. 令\(\beta\)為有理典型基底，並令\(\beta_i=\beta\cap K_{\phi_i}\)。則由於\(\beta_i\)是對應到\(\phi_i(t)\)的相伴矩陣的基底，且特徵多項式中的\((\phi_i(t))^{n_i}\)說明該區塊的應是\(\deg((\phi_i(t))^{n_i})\)方陣，故應有 \[
|\beta_i|=\deg((\phi_i(t))^{n_i})=n_i\deg(\phi_i(t))\leq\dim K_{\phi_i}
\] 而又由特徵多項式的表示式有 \[
n=\sum_{i=1}^k n_i\deg\phi_i\leq\sum_{i=1}^k\dim
K_{\phi_i}=\sum_{i=1}^k|\gamma_i|=|\gamma|\leq n
\] (先借用接下來第4.點的符號)。故中間的小於等於都是等於，即\(\dim K_{\phi_i}=n_i\deg \phi_i\)。
3.
由\(|\beta_i|=n_i\deg\phi_i=\dim
K_{\phi_i}\)即可知\(\beta_i\)是\(K_{\phi_i}\)的基底。
4. 由引理10與這裡的定理14-1可知\(\gamma=\gamma_1\cup\gamma_2\cup\cdots\cup\gamma_k\)是線性獨立的，且由第2.點的推導過程可知\(|\gamma|=\dim V\)，故\(\gamma\)是\(V\)的基底。QED
計算有理典型形式
例 17
由定理15，我們可以知道所有有限維的線性映射都可表為有理典型形式。考慮\(K_\phi\)，其中\(\phi\)是\(T\)的最小多項式的首一不可約因式。假設在\(T_{K_\phi}\)中有 \[ \dim N(\phi(T))=3d, \dim N((\phi(T))^2)=6d, \dim N((\phi(T))^3)=7d=\dim K_\phi \] 則\(T_{K_\phi}\)的有理典型形式應形如 \[ A=\left( \begin{array}{c|c|c} CM(\phi^3) & & \\ \hline & CM(\phi^2) & \\ \hline & & CM(\phi^2) \end{array} \right) \] 其中\(CM(\phi^k)\)是\(\phi^k\)的相伴矩陣(這裡的步驟和約旦典型形式的步驟類似，見這裡的註記14)。令\(d=\deg(\phi(t))\)，則\(A\)是\((7d)\times(7d)\)的矩陣，故可知\(K_\phi\)的基底可表為 \[ \left\{ \begin{array}{ccc} T^{3d-1}(v_1) & T^{2d-1}(v_2) & T^{2d-1}(v_3)\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ T(v_1) & T(v_2) & T(v_3)\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right\} \] 而在這之中 \[ \begin{aligned} \mbox{span}(\beta_{v_1})=\mbox{span}&(v_1,T(v_1),\cdots,T^{3d-1}(v_1))\\ =\mbox{span}&\left(\underbrace{\textcolor{red}{v_1,T(v_1),\cdots,T^{d-1}(v_1)}}_{T\mbox{-消除子}=\phi^3}\right.\\ &,\underbrace{\textcolor{blue}{\phi(T)(v_1),\phi(T)(T(v_1)),\cdots,\phi(T)(T^{d-1}(v_1))}}_{T\mbox{-消除子}=\phi^2}\\ &,\left.\underbrace{\textcolor{lime}{(\phi(T))^2(v_1),(\phi(T))^2(T(v_1)),\cdots,(\phi(T))^2(T^{d-1}(v_1))}}_{T\mbox{-消除子}=\phi}\right) \end{aligned} \] 可以對\(\mbox{span}(\beta_{v_2})\)和\(\mbox{span}(\beta_{v_3)}\)做一樣的分析，故可知這個基底可以進一步表為 \[ \left\{ \begin{array}{ccc} (\phi(T))^2(\gamma_1) & (\phi(T))^2(\gamma_2) & (\phi(T))^2(\gamma_3)\\ \phi(T)(\gamma_1) & \gamma_2=\{v_2,T(v_2),\cdots,T^{d-1}(v_2)\} & \gamma_3=\{v_3,T(v_3),\cdots,T^{d-1}(v_3)\}\\ \gamma_1=\{v_1,T(v_1),\cdots,T^{d-1}(v_1)\} & & \\ \end{array} \right\} \] 然後就可以用類似約旦典型形式中的步驟求出\(v_1,v_2,v_3\)了(見這裡的註記15)。