這份筆記是關於線性映射空間與矩陣空間間的同構關係。
同構
定義 1：同構 (Isomorphic)
給定向量空間\(V,W\)，若存在可逆線性映射\(T:V\to W\)，則稱\(V\)與\(W\)同構，記為\(V\simeq W\)。
定義 1-1：同構映射 (Isomorphism)
我們將定義1中的\(T\)稱為從\(V\)到\(W\)的同構映射。
註記 2
給定有限維線性空間\(V,W\)，則\(\dim V=\dim W\) iff. \(V\simeq W\)。
證明：我們分成兩個部分證明。
「\(\Rightarrow\)」：若\(\dim V=\dim W=n\)，則令\(V\)的基底為\(\beta=\{v_1,\cdots,v_n\}\)，\(W\)的基底為\(\gamma=\{w_1,\cdots,w_n\}\)，則考慮映射\(T:V\to W\)，其中 \[
T(v_i)=w_i,\forall i=1\sim n
\] 顯然這是可逆的，故由定義\(V\simeq
W\)。
「\(\Leftarrow\)」：若\(V\simeq W\)，則存在同構映射\(T:V\to W\)。由這裡的註記3-1知由於\(T\)可逆，必須有\(\dim V=\dim
W\)。QED
定義 3：矩陣空間 (Space of Matrices)
我們記\(F\)上所有\(m\times n\)矩陣所構成的向量空間為\(M_{m\times n}(F)\)。
定理 4
給定有限維向量空間\(V,W\)，並給定他們各自的有序基底\(\beta,\gamma\)。並令\(\dim V=n, \dim W=m\)，其中\(n,m<\infty\)。則定義映射\(\Phi:\mathscr{L}(V,W)\to M_{m\times
n}(F)\)使得 \[
\Phi(T)=[T]^\gamma_\beta, \forall T\in\mathscr{L}(V,W)
\] 則\(\Phi\)是一可逆線性映射
i.e. \(\Phi\)是從\(\mathscr{L}(V,W)\)到\(M_{m\times n}(F)\)的同構映射 i.e. \(\mathscr{L}(V,W)\simeq M_{m\times
n}(F)\)。
證明：\(\Phi\)顯然是線性映射，我們這裡主要希望構造出\(\Phi^{-1}\)。令\(\beta=\{v_1,\cdots,v_n\}\), \(\gamma=\{w_1,\cdots,w_m\}\)。則定義映射\(\Psi:M_{m\times n}(F)\to \mathscr{L}(V,W)\)使得 \[ \forall A\in M_{m\times n}(F), \Psi(A)=T,\mbox{ where }T(v_j)=\sum_{i=1}^n A_{ij}w_i \] 由定義易得\(\Psi\Phi(T)=T\), \(\Phi\Psi(A)=A\)。QED