這份筆記是關於座標轉換矩陣的定義與性質。
座標轉換矩陣
定義 1：座標轉換矩陣 (Coordinate Transformation Matrix)
考慮有限維向量空間\(V\)，並給定\(V\)的有序基底\(\beta,\beta'\)。並令\(I_V:V\to V\)是\(V\)上的等價映射，則稱 \[ Q=[I_V]^\beta_{\beta'} \] 是從\(\beta\)到\(\beta'\)的座標轉換矩陣。
定理 2
沿用定義1的符號，則：
1. \(Q\)是可逆矩陣。
2. \(\forall v\in V\), \([v]_\beta=Q[v]_{\beta'}\)。
證明：
1. 由於\(I_V\)可逆，故由這裡的定理3知\(Q=[I_V]^\beta_{\beta'}\)也可逆。
2.
由這裡的定理13知
\[
[I_V(v)]_\beta=[I_V]^\beta_{\beta'}[v]_{\beta'}
\] 故 \[
[v]_\beta=[I_V(v)]_\beta=[I_V]^\beta_{\beta'}[v]_{\beta'}=Q[v]_{\beta'}
\] QED
定理 3
沿用定義1的符號，給定線性映射\(T:V\to V\)，則 \[ [T]^{\beta'}_{\beta'}=Q^{-1}[T]^\beta_\beta Q \]
證明：我們知道 \[ TI_V=I_VT=T \] 故 \[ \begin{aligned} &[TI_V]^\beta_{\beta'}=[I_VT]^\beta_{\beta'}\\ \Rightarrow&[T]^\beta_\beta Q=Q[T]^{\beta'}_{\beta'}\\ \Rightarrow&[T]^{\beta'}_{\beta'}=Q^{-1}[T]^\beta_\beta Q \end{aligned} \] QED