這份筆記是關於線性轉換的反函數以及矩陣的反矩陣。
反函數
定義 1：反函數 (Inverse Function)
給定函數\(f:A\to B\)，我們說函數\(f^{-1}:B\to A\)是\(f\)的反函數，若 \[ \begin{aligned} \forall a\in A&, f^{-1}(f(a))=a\\ \forall b\in B&, f(f^{-1}(b))=b \end{aligned} \]
定義 1-1：逆 (Inverse)
給定線性映射\(T:V\to W\)，則若存在函數\(U:W\to V\)使得 \[ TU=I_W, UT=I_V \] 則稱\(U\)為\(T\)的逆。其中\(I_W\)和\(I_V\)分別為\(W\)和\(V\)中的等價映射(見這裡的定義18)。此時我們說\(T\)是可逆(Invertible)的。
註記 1-2
可以知道\(f\)有反函數 iff. \(f\)是一對一且映成的。
性質 1-3
若\(T\)有反函數\(U\)，則\(U\)是唯一的(由定義知)。
性質 1-4
若\(T\)和\(U\)都有反函數，則 \[ (TU)^{-1}=U^{-1}T^{-1} \]
證明：我們令\(I\)為等價映射，則由定義有 \[ (TU)^{-1}(TU)=I \] 然而又有 \[ (U^{-1}T^{-1})\times(TU)=U^{-1}(T^{-1}T)U=U^{-1}U=I \] 故由性質1-2知\((TU)^{-1}=U^{-1}T^{-1}\)。QED
性質 1-5
若\(T\)有反函數，則 \[ (T^{-1})^{-1}=I \]
證明：由\(TT^{-1}=I\)就直接有結論了。QED
性質 1-6
給定線性映射\(T:V\to W\)，且\(\dim V=\dim W<\infty\)，則由這裡的定理10及上述註記1-2知\(T\)有反函數 iff. \(T\)是一對一且映成的 iff. \(\mbox{rank}(T)=\dim(V)\)。
定理 1-7
線性映射\(T\)若有反函數，則其反函數\(T^{-1}\)也是線性映射。
證明：考慮\(T:V\to W\), \(T^{-1}:W\to V\)，其中\(V,W\)為\(F\)上的向量空間。給定\(y_1,y_2\in W\), \(c\in F\)，則由上面的註記1-2知存在唯一的\(x_1,x_2\in V\)使得 \[ \begin{aligned} T(x_1)=y_1&,T(x_2)=y_2\\ x_1=T^{-1}(y_1)&,x_2=T^{-1}(y_2) \end{aligned} \] 故 \[ \begin{aligned} T^{-1}(cy_1+y_2)&=T^{-1}(cT(x_1)+T(x_2))\\ &=T^{-1}(T(cx_1+x_2))\\ &=cx_1+x_2\\ &=cT^{-1}(y_1)+T^{-1}(y_2) \end{aligned} \] 於是可知\(T^{-1}\)是線性映射。QED
反矩陣
定義 2：反矩陣 (Inverse Matrix)
給定\(n\times n\)矩陣\(A\)，若存在\(n\times n\)矩陣\(B\)使得 \[ AB=BA=I_n \] 則說\(B\)是\(A\)的反矩陣，記\(B=A^{-1}\)。且此時也說\(A\)是可逆的。
定理 3
給定有限維向量空間\(V, W\)，且給定\(V\)的有序基底\(\beta\)與\(W\)的有序基底\(\gamma\)，並給定線性映射\(T:V\to W\)，則\(T\)有反函數 iff. \([T]_\beta^\gamma\)有反矩陣，且 \[ [T^{-1}]_\gamma^\beta=\left([T]_\beta^\gamma\right)^{-1} \]
證明：我們分成兩個部分證明。
「\(\Rightarrow\)」：若\(T\)有反函數，則由性質1-6知\(\mbox{rank}(T)=\dim V\)(這裡沒有用到\(\dim V=\dim W\)的條件)。但由註記1-2知\(T\)應要是映成的，故\(R(T)=W\), \(\mbox{rank}(T)=\dim W\)，故\(\dim V=\dim W\)。令\(\dim V=\dim W=n\)，則\([T]_\beta^\gamma\)是一\(n\times n\)矩陣，且 \[
TT^{-1}=I_V, T^{-1}T=I_W
\] 故由這裡的定理16知
\[
\begin{aligned}
I_n&=[I_V]_\beta^\beta=[T^{-1}]_\gamma^\beta[T]_\beta^\gamma\\
I_n&=[I_W]_\gamma^\gamma=[T]_\beta^\gamma[T^{-1}]_\gamma^\beta
\end{aligned}
\] 故知\([T]_\beta^\gamma\)可逆且\([T^{-1}]_\gamma^\beta=\left([T]_\beta^\gamma\right)^{-1}\)。
「\(\Leftarrow\)」：若\(A=[T]_\beta^\gamma\)可逆，則存在矩陣\(B\)使得\(AB=BA=I_n\)(當假設\(A\)可逆時已經假設\(A\)是\(n\times
n\)方陣了)。令\(\beta=\{v_1,\cdots,v_n\}\), \(\gamma=\{w_1,\cdots,w_n\}\)，並給定\(U\in\mathscr{L}(W,V)\)，其中 \[
U(w_j)=\sum_i B_{ij}v_i
\] 由這裡的定理11知這樣的\(U\)存在且唯一。並且由定義知\(B=[U]^\beta_\gamma\)，故 \[
\begin{aligned}
\left[UT\right]_\beta^\beta&=[U]^\beta_\gamma[T]^\gamma_\beta\\
&=BA=I_n=[I_V]^\beta_\beta
\end{aligned}
\] 故\(UT=I_V\)，類似的有\(TU=I_W\)，則有\(T^{-1}=U\)，即\(T\)有反函數。QED
註記 3-1
由上述證明過程可知若要\(T:V\to W\)可逆且\(V,W\)皆為有限維，就必須有\(\dim V=\dim W\)。
註記 3-2
給定\(n\times n\)矩陣\(A\)，則\(A\)可逆 iff. 存在\(B\)使得\(AB=BA=I_n\) iff. \(L_A\)可逆。
證明：第一個iff.是由定義，在此解釋第二個iff.。 由\(AB=BA=I_n\)知 \[ L_{AB}(x)=ABx=x=L_AL_B(x) \] 故\(L_AL_B=I\)，同理\(L_BL_A=I\)，故\(L_A\)可逆。QED