這份筆記是關於矩陣的基本性質以及其與線性映射的關聯。
這裡的行與列依循的是台灣的翻譯習慣，即行對應到英文的Column，而列對應到英文的Row。
線性映射的矩陣表示法
定義 1：有序基底 (Ordered Basis)
意思是有序的基底。
例 1-1
考慮\(\mathbb{R}^3\)的兩個基底 \[ \beta=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}, \beta'=\{(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)\} \] 作為有序基底來說\(\beta\neq\beta'\)，但作為無序基底來說\(\beta=\beta'\)。
定義 2：行向量表示 (Column Vector Representation)
令\(\beta=\{u_1,\cdots,u_n\}\)是\(F\)上的向量空間\(V\)的一組有序基底，則對於\(x\in V\)，若 \[ x=a_1u_1+\cdots+a_nu_n \] 其中\(a_1,\cdots,a_n\in F\)，則記 \[ [x]_\beta=\left[ \begin{array}{ccc} a_1\\ \vdots\\ a_n \end{array} \right] \]
註記 3
給定線性映射\(T:V\to W\)，其中\(\dim V<\infty\), \(\dim W<\infty\)，且 \[ \beta=\{v_1,\cdots,v_n\}, \gamma=\{w_1,\cdots,w_m\} \] 分別為\(V\)和\(W\)的有序基底，則由這裡的定理11我們知道\(T\)會被\(T(v_1),T(v_2),\cdots,T(v_n)\)的值唯一決定，且每個\(T(v_i)\)都能被唯一表示成\(w_1,w_2,\cdots,w_m\)的線性組合，即 \[ T(v_j)=a_{1j}w_1+a_{2j}w_2+\cdots+a_{mj}w_m \]
定義 3-1：線性映射的矩陣表示法 (Matrix Representation of Linear Transformation)
沿用註記3中的符號，我們給定矩陣\(A\)使得\(A\)的第\(i\)列第\(j\)行的元素為 \[ A_{ij}=a_{ij} \] 則我們稱\(A\)是\(T\)的矩陣表示法，記為 \[ A=[T]_\beta^\gamma \]
註記 3-1-1
很容易可以發現\(A\)是\(m\times n\)的矩陣。
註記 3-1-2
由這裡的定理11知若線性映射\(T:V\to W\)及\(U:V\to W\)滿足 \[ [T]_\beta^\gamma=[U]_\beta^\gamma \] 則\(T=U\)。
例 3-1-3
考慮\(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\)，其中\(\mathbb{R}^2\)的基底是\(\beta=\{(1,0),(0,1)\}\)，\(\mathbb{R}^3\)的基底是\(\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\)。我們令 \[ T((a_1,a_2))=(a_1+3a_2,a_1,2a_1-4a_2) \] 則 \[ \begin{aligned} T((1,0))&=(1,1,2)=1(1,0,0)+1(0,1,0)+2(0,0,1)\\ T((0,1))&=(3,0,-4)=3(1,0,0)+0(0,1,0)+(-4)(0,0,1) \end{aligned} \] 故我們有 \[ [T]_\beta^\gamma=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3\\ 1 & 0\\ 2 & -4 \end{array} \right) \]
線性映射的向量空間
定義 4：線性映射的運算 (Elementary Arithmetic of Linear Transformations)
給定線性映射\(T,U:V\to W\)，其中\(V,W\)是\(F\)上的向量空間。則定義映射\((T+U):V\to W\)為 \[ \forall x\in V, (T+U)(x)=T(x)+U(x) \] 並且對於\(a\in F\)，定義映射\(aT:V\to W\)為 \[ \forall x\in V,(aT)(x)=aT(x) \]
定理 4-1
給定線性映射\(T,U:V\to W\)，則：
1. \(\forall a\in F\)，\(aT+U\)是線性映射。
2. 所有\(V\to W\)的線性映射構成一個\(F\)上的向量空間。
證明：
1. 對於所有\(x,y\in V\), \(c\in F\)，有 \[
\begin{aligned}
(aT+U)(cx+y)&=aT(cx+y)+U(cx+y)\\
&=a(cT(x)+T(y))+(cU(x)+U(y))\\
&=c(aT(x)+U(x))+(aT(y)+U(y))\\
&=c(aT+U)(x)+(aT+U)(y)
\end{aligned}
\] 於是知\(aT+U\)是線性映射。
2. 檢查這裡的定義2的8個公理即可，這裡就略過了。其中要注意這裡的零元素指的是零函數，即
\[
\mathbf{0}(x)=0,\forall x\in V
\] QED
定義 4-1-1
我們把定理5的第2.點中所有\(V\to W\)的線性映射構成的向量空間記為\(\mathscr{L}(V,W)\)。
定理 5
給定線性映射\(T,U:V\to
W\)，其中\(V,W\)是有限維向量空間，其各自的有序基底為\(\beta\)和\(\gamma\)，則：
1. \([T+U]_\beta^\gamma=[T]_\beta^\gamma+[U]_\beta^\gamma\)。
2. \(\forall a\in F\), \([aT]_\beta^\gamma=a[T]_\beta^\gamma\)。
證明：
1. 令 \[
\beta=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}, \gamma=\{w_1,w_2,\cdots,w_m\}
\] 且令 \[
T(v_j)=\sum_{i=1}^m a_{ij}w_i, U(v_j)=\sum_{i=1}^m b_{ij}w_j
\] 則 \[
(T+U)(v_j)=T(v_j)+U(v_j)=\sum_{i=1}^m (a_{ij}+b_{ij})w_j
\] 故 \[
\begin{aligned}
&\left([T+U]_\beta^\gamma\right)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=\left([T]_\beta^\gamma\right)_{ij}+\left([U]_\beta^\gamma\right)_{ij}\\
\Rightarrow&[T+U]_\beta^\gamma=[T]_\beta^\gamma+[U]_\beta^\gamma
\end{aligned}
\]
2. 和上面一樣檢查 \[
\left([aT]_\beta^\gamma\right)_{ij}=a\left([T]_\beta^\gamma\right)_{ij}
\] 就好了，詳略。QED
合成映射與矩陣乘法
定義 6：合成映射 (Composition Transformation)
給定線性映射\(T:V\to W\), \(U:W\to Z\)，我們定義合成映射\(UT:V\to Z\)為 \[ (UT)(x)=U(T(x)), \forall x\in V \]
定理 6-1
給定線性映射\(T:V\to W\), \(U:W\to Z\)，其中\(V,W,Z\)是有限維向量空間，則\(UT:V\to Z\)也是線性映射。
證明：對於\(x,y\in V\), \(a\in F\)，有 \[ \begin{aligned} UT(ax+y)&=U(aT(x)+T(y))\\ &=aU(T(x))+U(T(y))\\ &=a(UT(x))+UT(y) \end{aligned} \] 故知\(UT\)是線性映射。QED
定理 6-2
給定\(T,U_1,U_2\in\mathscr{L}(V,V)\)，其中\(V\)是\(F\)上的向量空間。則：
1. \(T(U_1+U_2)=TU_1+TU_2\)。
2. \(T(U_1U_2)=(TU_1)U_2\)。
3.
定義單位映射\(I:V\to V\)使得\(\forall x\in V\), \(I(x)=x\)，則 \[
TI=IT=T
\]
4. \(\forall a\in F\),
\(a(U_1U_2)=(aU_1)U_2=U_1(aU_2)\)。
(都是顯然的，在此證略。)
定理 7
給定線性映射\(T:V\to W\), \(U:W\to Z\)，其中\(\alpha=\{v_1,\cdots,v_n\}\)是\(V\)的基底，\(\beta=\{w_1,\cdots,w_m\}\)是\(W\)的基底，\(\gamma=\{z_1,\cdots,z_p\}\)是\(Z\)的基底，則 \[
[UT]_\alpha^\gamma=[U]_\beta^\gamma\cdot[T]_\alpha^\beta
\] 這裡的乘法是矩陣乘法。
證明：令\(B=[T]_\alpha^\beta\), \(A=[U]_\beta^\gamma\)，則 \[ \begin{aligned} (UT)(v_j)&=U(T(v_j))\\ &=U\left(\sum_{k=1}^m B_{kj}w_k\right)\\ &=\sum_{k=1}^m B_{kj}U(w_k)\\ &=\sum_{k=1}^m B_{kj}\left(\sum_{i=1}^p A_{ik}z_i\right)\\ &=\sum_{i=1}^p\left(\sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj}\right)z_i \end{aligned} \] 在這裡令\([UT]_\alpha^\gamma=C\)，則 \[ C_{ij}=\sum_{k=1}A_{ik}B_{kj} \] 則由矩陣乘法的定義知\(C_{ij}=(AB)_{ij}\)，即\(C=AB\)。QED
定義 8：轉置矩陣 (Transposition Matrix)
對於矩陣\(A\)，定義其轉置矩陣\(A^t\)為 \[ (A^t)_{ij}=A_{ji} \] 意即若\(A\)是\(m\times n\)矩陣，則\(A^t\)就是\(n\times m\)矩陣。
註記 8-1
給定矩陣\(A,B\)，有 \[ (AB)^t=B^tA^t \]
證明：我們有 \[ \begin{aligned} (AB)_{ij}^t&=(AB)_{ji}\\ &=\sum_k A_{jk}B_{ki}\\ &=\sum_k(B^t)_{ik}(A^t)_{kj}\\ &=(B^tA^t)_{ij} \end{aligned} \] QED
性質 9
對於矩陣\(A,B,C,D,E\)，假設底下的矩陣乘法都有定義，則：
1. \(A(B+C)=AB+AC\)。
2. \((D+E)A=DA+EA\)。
3. \(\forall a\in F\), \((aA)B=A(aB)\)。
(都是簡易的，在此證略。)
矩陣的線性映射意涵
定理 10
令\(A\)為\(m\times n\)矩陣，\(B\)為\(n\times
p\)矩陣，並令\(u_j\)是\(AB\)第\(j\)行的行向量，\(v_j\)是\(B\)第\(j\)行的行向量，則：
1. \(u_j=Av_j\) (注意\(u_j\)是\(m\times
1\), \(A\)是\(m\times n\), \(v_j\)是\(n\times
1\))。
2. \(v_j=Be_j\)，其中
\[
e_j=\left(
\begin{array}{cccc}
a_1\\
a_2\\
\vdots\\
a_p
\end{array}
\right), \left\{
\begin{aligned}
a_i=0&,\mbox{ for }i\neq j\\
a_j=1&
\end{aligned}
\right.
\] (注意\(v_j\)是\(n\times 1\), \(B\)是\(n\times
p\), \(e_j\)是\(p\times 1\))。
(證明是簡易的，在此略。)
定義 10-1：標準向量 (Standard Vector)
我們將定理10中的\(e_j\)稱為\(F^p\)中的標準向量。
定理 11
給定線性映射\(T:V\to W\)，其中\(V,W\)為\(F\)上的向量空間，且\(\dim V,\dim W<\infty\)，並令\(\beta,\gamma\)分別為\(V\)和\(W\)的基底。則對於\(u\in V\)，有 \[ [T(u)]_\gamma=[T]_\beta^\gamma[u]_\beta \]
證明 1：固定\(u\in V\)，定義函數\(f:F\to V\)為 \[
f(a)=au,\forall a\in F
\] 並定義函數\(g:F\to W\)為
\[
g(a)=aT(u),\forall a\in F
\] 則易知\(f,g\)都是線性映射(可以把\(F\)理解成\(F\)上的向量空間)，且\(g=Tf\)。則 \[
\begin{aligned}
[T(u)]_\gamma&=[g(1)]_\gamma\\
&=[g]_\alpha^\gamma\\
&(\mbox{這裡}\alpha=\{1\}\mbox{是}F\mbox{的基底})\\
&=[Tf]_\alpha^\gamma\\
&=[T]_\beta^\gamma[f]_\alpha^\beta\mbox{ (定理7)}\\
&=[T]_\beta^\gamma[f(1)]_\beta\\
&=[T]_\beta^\gamma[u]_\beta
\end{aligned}
\] QED
證明 2：令\(\beta=\{u_1,\cdots,u_n\}\), \(\gamma=\{w_1,\cdots,w_m\}\)，並令\([T]_\beta^\gamma=A\)，則 \[ T(u_j)=\sum_{i=1}^m A_{ij}w_i \] 由於\(u\in V\)，故存在\(a_1,a_2,\cdots,a_n\in F\)使得 \[ u=a_1u_1+\cdots+a_nu_n \] 則 \[ [u]_\beta=\left( \begin{array}{ccc} a_1\\ \vdots\\ a_n \end{array} \right) \] 而 \[ T(u)=T\left(\sum_{i=1}^n a_iu_i\right)=\sum_{i=1}^n a_iT(u_i)=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^m a_iA_{ki}w_k \] 故有 \[ [T(u)]_\gamma=\left( \begin{array}{ccc} \sum\limits_{i=1}^n A_{1i}a_i\\ \sum\limits_{i=1}^n A_{2i}a_i\\ \vdots \end{array} \right)=A\left( \begin{array}{ccc} a_1\\ \vdots\\ a_n \end{array} \right)=[T]_\beta^\gamma[u]_\beta \] QED
定義 12：矩陣映射 (Matrix Transformation)
對於元素都在\(F\)中的\(m\times n\)矩陣\(A\)，我們定義線性映射\(L_A:F^n\to F^m\)為 \[ L_A(x)=Ax \] 其中\(x\in F^n\)是寫成行向量的形式。
定義 13：標準基底 (Standard Basis)
考慮向量空間\(F^n\)，則其標準基底為有序基底 \[ \beta=\{e_1,e_2,\cdots,e_n\} \] 其中\(e_i\)為定義10-1中的標準向量。
定理 14
給定\(m\times n\)矩陣\(A\)與映射\(L_A:F^n\to F^m\)，並令\(\beta,\gamma\)為\(F^n, F^m\)的標準基底，並給定另一\(m\times n\)矩陣\(B\)，則：
1. \([L_A]_\beta^\gamma=A\)。
2. \(L_A=L_B\Leftrightarrow A=B\)。
3. \(L_{A+B}=L_A+L_B\)。
4. \(\forall a\in F\), \(L_{aA}=aL_A\)。
證明：
1. 由定義\([L_A]_\beta^\gamma\)的第\(j\)行是\(L_A(e_j)\)，而由定理10知 \[
L_A(e_j)=Ae_j
\] 而這即是\(A\)的第\(j\)行，故確有 \[
[L_A]_\beta^\gamma=A
\]
2. 由第1.點，若\(L_A=L_B\)，則 \[
A=[L_A]_\beta^\gamma=[L_B]_\beta^\gamma=B
\] 而若\(A=B\)，則對於所有\(x\)有\(Ax=Bx\)，故 \[
[L_A]_\beta^\gamma=[L_B]_\beta^\gamma
\]
3. 對於所有\(x\)，我們有
\[
L_{A+B}(x)=(A+B)(x)=Ax+Bx=L_A(x)+L_B(x)
\] 故 \[
L_{A+B}=L_A+L_B
\]
4. 與第3.點同理，詳略。QED
定理 15
給定線性映射\(T:F^m\to
F^n\)，則存在唯一\(m\times
n\)矩陣\(C\)使得\(T=L_C\)。
證明：令\(C=[T]_\beta^\gamma\)，則由定理11，有 \[
[T(x)]_\gamma=[T]_\beta^\gamma[x]_\beta
\] 意即 \[
T(x)=Cx=L_C(x),\forall x\in F^n
\] 即\(T=L_C\)。
而若也存在另一\(C'\)使得\(T=L_{C'}\)，則\(L_C=L_{C'}\)。由第2.點，有\(C=C'\)。故有唯一性。QED
定理 16
令\(A\)是\(m\times n\)矩陣，\(E\)是\(n\times
p\)矩陣，則\(L_{AE}=L_AL_E\)。
證明：我們有 \[ \begin{aligned} L_{AE}(e_j)&=AEe_j\\ &=AE\mbox{的第}j\mbox{行}\\ &=A\times (E\mbox{的第}j\mbox{行})\mbox{ (定理10)}\\ &=A(Ee_j)=L_A(Ee_j)=L_A\left(L_E(e_j)\right) \end{aligned} \] 故有\(L_{AE}=L_AL_E\)。QED
定義 17：單位矩陣 (Unit Matrix)
我們說\(n\)階單位矩陣\(I_n\)是一\(n\times n\)矩陣，其中 \[ (I_n)_{ij}=\left\{ \begin{aligned} 0&,i\neq j\\ 1&,i=j \end{aligned} \right. \] 即除對角線為\(1\)外其餘元素皆為\(0\)的矩陣。
定義 18：等價映射 (Identity Transformation)
\(F^n\)下的等價映射\(I_{F^n}:F^n\to F^n\)為函數 \[ \forall x\in F^n, I_{F^n}(x)=x \]
定理 19
我們有 \[ L_{I_n}=I_{F^n} \] (這是顯然的，證略。)