這份筆記是關於線性映射的定義與維度。
線性映射
定義 1：線性映射 (Linear Transformation)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)與\(W\)，若一函數\(T:V\to W\)滿足以下兩個性質，則稱\(T\)是一個線性映射：
1. \(\forall x,y\in V\), \(T(x+y)=T(x)+T(y)\)。
2. \(\forall x\in V, a\in F\), \(T(ax)=aT(x)\)。
性質 1-1
給定\(F\)上的向量空間\(V\)與\(W\)，以及線性映射\(T:V\to W\)。則我們有 \[ T(0)=0 \]
證明：依定義，有 \[ T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0) \] 故\(T(0)=0\)。QED
性質 1-2
給定\(F\)上的向量空間\(V\)與\(W\)，以及線性映射\(T:V\to W\)。則我們有 \[ \forall x,y\in V, a\in F, T(ax+y)=aT(x)+T(y) \]
證明：依定義，有 \[ T(ax+y)=T(ax)+T(y)=aT(x)+T(y) \] QED
註記 1-2-1
從性質1-2可以很容易發現\(T\)是線性映射若且唯若對於所有\(x,y\in V\)及\(a\in F\)有 \[ T(ax+y)=aT(x)+T(y) \] (分別令\(a=1\)與\(y=0\)就是定義1的樣子了。)故這也可以被視為線性映射的等價定義。
性質 1-3
給定\(F\)上的向量空間\(V\)與\(W\)，以及線性映射\(T:V\to W\)。則我們有 \[ \forall x,y\in V, T(x-y)=T(x)-T(y) \]
證明：依定義，有 \[ T(x-y)+T(y)=T(x) \] 故有\(T(x-y)=T(x)-T(y)\)。QED
性質 1-4
給定\(F\)上的向量空間\(V\)與\(W\)，以及線性映射\(T:V\to W\)。則我們有 \[ \forall x_i\in V, a_i\in F, T\left(\sum_i a_ix_i\right)=\sum_i a_iT(x_i) \]
證明：反覆使用性質1-2就有了。QED
核與像
定義 2：核 (Kernel)
給定線性映射\(T:V\to W\)，則我們定義\(T\)的核為 \[ N(T)=\{x\in V:T(x)=0\}\subseteq V \] 或者，也稱\(N(T)\)為\(T\)的零空間(Null Space)。
定義 3：像 (Image)
給定線性映射\(T:V\to W\)，則我們定義\(T\)的像為 \[ R(T)=\{T(x)\in W:x\in V\}\subseteq W \] 或者，也稱\(R(T)\)為\(T\)的值域(Range)。
定理 4
給定線性映射\(T:V\to W\)，則\(N(T)\)是\(V\)的子空間，\(R(T)\)是\(W\)的子空間。
證明：考慮這裡的註記3-1，我們可以依此檢查\(N(T)\)和\(R(T)\)是否各自為子空間。
1. 對於\(N(T)\subseteq V\)，有：
1) 由於\(T(\textcolor{red}{0})=0\)，故\(0\in N(T)\)。
2) 對於\(x,y\in N(T)\) i.e. \(T(x)=T(y)=0\)，有 \[
\;\;T(ax+y)=aT(x)+T(y)=a\cdot 0+0=0
\] 故\(ax+y\in N(T)\)，即\(N(T)\)確實是\(V\)的子空間。
2. 對於\(R(T)\subseteq W\)，有：
1) 由於\(T(0)=\textcolor{red}{0}\)，故\(0\in R(T)\)。
2) 對於\(x,y\in N(T)\) i.e. \(\exists\overline{x},\overline{y}\) s.t.
\(T(\overline{x})=x,
T(\overline{y})=y\)，有 \[
\;\;T(a\overline{x}+\overline{y})=aT(\overline{x})+T(\overline{y})=ax+y
\] 故\(ax+y\in R(T)\)，即\(R(T)\)確實是\(W\)的子空間。QED
定理 5
給定線性映射\(T:V\to W\)，且\(\beta=\{v_1,\cdots,v_n\}\)為\(V\)的基底，則 \[ R(T)=\mbox{span}(T(\beta))=\mbox{span}(\{T(v_1),T(v_2),\cdots,T(v_n)\}) \]
證明：已知\(\forall i=1\sim n\), \(T(v_i)\in R(T)\)，故 \[ \mbox{span}(\underbrace{\{T(v_1),T(v_2),\cdots,T(v_n)\}}_{T(\beta)})\subseteq R(T)\subseteq W \] 今令\(w\in R(T)\)，則存在\(v\in V\)使得\(w=T(v)\)。而由\(\beta\)是\(V\)的基底知存在純量\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)使得 \[ v=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n \] 故 \[ w=T(v)=a_1T(v_1)+a_2T(v_2)+\cdots+a_nT(v_n) \] 故\(w\in\mbox{span}(T(\beta))\)，即\(R(T)\subseteq\mbox{span}(T(\beta))\)。結合上面的\(\mbox{span}(T(\beta))\subseteq R(T)\)，即有 \[ \mbox{span}(T(\beta))=R(T) \] QED
定義 6：零化度 (Nullity)
給定線性映射\(T:V\to W\)，其中\(V\)是有限維向量空間。若\(N(T)\)也是有限維的，則定義\(T\)的零化度為 \[ \mbox{nullity}(T)=\dim N(T) \]
定義 7：秩 (Rank)
給定線性映射\(T:V\to W\)，其中\(V\)是有限維向量空間。若\(R(T)\)也是有限維的，則定義\(T\)的秩為 \[ \mbox{rank}(T)=\dim R(T) \]
定理 8：維度定理 (Dimension Theorem)
給定線性映射\(T:V\to W\)，其中\(V\)是有限維向量空間。則 \[ \mbox{nullity}(T)+\mbox{rank}(T)=\dim V \]
證明：令\(\dim V=n\), \(\mbox{nullity}(T)=k\)，且\(\{v_1,\cdots,v_k\}\)是\(N(T)\)的基底。則由取代定理(這裡的定理5)，我們可以構造\(\{v_1,\cdots,v_k,v_{k+1},\cdots,v_n\}\)使得其為\(V\)的基底。我們希望說明\(S=\{T(v_{k+1}),\cdots,T(v_n)\}\)是\(R(T)\)的基底(於是\(\mbox{rank}(T)=n-k\))。我們分成以下兩步驟證明：
1. 我們希望說明\(S\)生成\(R(T)\)。由\(\{v_1,\cdots,v_k\}\subseteq N(T)\)知 \[
T(v_1)=T(v_2)=\cdots=T(v_k)=0
\] 故由定理5，有 \[
\begin{aligned}
R(T)&=\mbox{span}(\{T(v_1),T(v_2),\cdots,T(v_k),T(v_{k+1}),\cdots,T(v_n)\})\\
&=\mbox{span}(\{T(v_{k+1}),\cdots,T(v_n)\})
\end{aligned}
\]
2. 我們希望說明\(S\)是線性獨立的。假設存在純量\(b_{k+1},b_{k+2},\cdots,b_n\)使得 \[
b_{k+1}T(v_{k+1})+\cdots+b_nT(v_n)=0
\] 則 \[
\begin{aligned}
&T(b_{k+1}v_{k+1}+\cdots+b_nv_n)=0\\
\Rightarrow&b_{k+1}v_{k+1}+\cdots+b_nv_n\in N(T)
\end{aligned}
\] 故存在純量\(c_1,c_2,\cdots,c_k\)使得 \[
b_{k+1}v_{k+1}+\cdots+b_nv_n-c_1v_1-c_2v_2-\cdots-c_kv_k=0
\] 然而\(\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)是線性獨立的，故
\[
c_1=c_2=\cdots=c_k=b_{k+1}=b_{k+2}=\cdots=b_n=0
\] 於是可知\(\{T(v_{k+1},\cdots,T(v_n))\}\)是線性獨立的。QED
定理 9
給定線性映射\(T:V\to W\)，則\(T\)是一對一的 iff. \(N(T)=\{0\}\)。
證明：我們分成兩個部分證明：
「\(\Rightarrow\)」：若\(T\)是一對一的，給定\(x\in N(T)\)，則 \[
T(x)=0=T(0)
\] 但\(T\)是一對一的，故\(x=0\)，即\(N(T)=\{0\}\)。
「\(\Leftarrow\)」：若\(N(T)=\{0\}\)，給定\(x,y\in V\)使得\(T(x)=T(y)\)，則 \[
T(x-y)=T(x)-T(y)=0
\] 故\(x-y\in N(T)\) i.e. \(x-y=0\)，即\(x=y\)。QED
定理 10
給定線性映射\(T:V\to W\)，其中\(\dim V=\dim
W<\infty\)，則以下三件事等價：
1. \(T\)是一對一的。
2. \(T\)是映成的，即\(\forall w\in W\), \(\exists v\in V\) s.t. \(T(v)=w\)。
3. \(\mbox{rank }T=\dim V\)。
證明：從1.開始，有 \[ \begin{aligned} \underbrace{T\mbox{是一對一}}_{1.}&\Leftrightarrow N(T)=\{0\}\mbox{ (定理9)}\\ &\Leftrightarrow\underbrace{\mbox{nullity }T}_{=0}+\mbox{rank }T=\dim V\mbox{ (維度定理，定理8)}\\ &\Leftrightarrow\underbrace{\mbox{rank }T=\dim V}_{3.}\\ &\Leftrightarrow\mbox{rank }T=\dim W\mbox{且}R(T)\subseteq W\\ &\Leftrightarrow\underbrace{R(T)=W}_{2.}\mbox{ (☆)} \end{aligned} \] 其中(☆)處是這裡的定理7。QED
定理 11
給定\(F\)上的向量空間\(V\)與\(W\)，其中\(\{v_1,\cdots,v_n\}\)是\(V\)的基底，則對於\(w_1,\cdots,w_n\in W\)，存在唯一的線性映射\(T:V\to W\)使得 \[ T(v_i)=w_i,\forall i=1\sim n \]
證明：我們成兩步驟證明：
1.
我們希望說明存在這樣的線性映射\(T\)。對於\(x\in
V\)，我們知道存在唯一的一組\(a_1,a_2,\cdots,a_n\in F\)使得 \[
x=a_1v_1+\cdots+a_nv_n
\] 定義 \[
T(x)=a_1w_1+a_2w_2+\cdots+a_nw_n
\] 則對於所有\(u,v\in V\)，令
\[
\begin{aligned}
u&=b_1v_1+\cdots+b_nv_n\\
v&=c_1v_1+\cdots+c_nv_n
\end{aligned}
\] 則對於所有\(d\in F\)，有
\[
\begin{aligned}
T(du+v)&=(db_1+c_1)w_1+(db_2+c_2)w_2+\cdots+(db_n+c_n)w_n\\
&=dT(u)+T(v)
\end{aligned}
\] 故由性質1-2知\(T\)是線性映射。
2.我們希望說明這樣的\(T\)是唯一的。假設存在另一個符合條件的線性映射\(U:V\to W\)，則對於所有 \[
x=a_1v_1+\cdots+a_nv_n\in V
\] 有 \[
\begin{aligned}
T(x)&=a_1w_1+\cdots+a_nw_n\\
&=a_1U(v_1)+\cdots+a_nU(v_n)\\
&=U(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)\\
&=U(x)
\end{aligned}
\] 於是知\(T(x)=U(x)\)，\(T\)是唯一的。QED
投影
定義 12：直和 (Direct Sum)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，以及\(V\)的子空間\(V_1,V_2\)。令 \[ V_1+V_2=\{v_1+v_2:v_1\in V_1,v_2\in V_2\} \] 由這裡的註記3-1可以驗證\(V_1+V_2\)也是\(V\)的子空間。若\(V_1+V_2=V\)且\(V_1\cap V_2=\{0\}\)，則稱\(V\)是\(V_1\)和\(V_2\)的直和，記做 \[ V=V_1\oplus V_2 \]
定義 13：投影 (Projection)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，以及\(V\)的子空間\(W_1,W_2\)，滿足\(W_1\oplus W_2=V\)。則給定\(x\in V\)，存在\(x_1\in W_1, x_2\in W_2\)使得\(x=x_1+x_2\)。我們把函數\(T(x)=x_1\) (\(T:V\to V\))稱為沿\(W_2\)到\(W_1\)上的投影。
註記 13-1
我們必須先確定上面關於投影的定義是良好的。若有\(w_1,v_1\in W_1\)和\(w_2,v_2\in W_2\)使得 \[ x=w_1+w_2=v_1+v_2 \] 則 \[ \underbrace{w_1-v_1}_{\in W_1}=\underbrace{v_2-w_2}_{\in W_2}\in W_1\cap W_2=\{0\} \] 故\(w_1=v_1\), \(w_2=v_2\)，即任何\(V\)中的元素都可以被「唯一」表為\(W_1\)和\(W_2\)中的元素的和，故投影\(T\)確實是良好定義的。
性質 13-2
沿用定義13中的符號，則投影\(T\)是線性的，且 \[ W_1=\{x\in V:T(x)=x\} \]
證明：對於所有\(x,y\in V\)，存在\(x_1,y_1\in W_1\)和\(x_2,y_2\in W_2\)使得 \[
x=x_1+x_2, y=y_1+y_2
\] 則 \[
\begin{aligned}
T(x+y)&=T((x_1+x_2)+(y_1+y_2))\\
&=T(\underbrace{(x_1+y_1)}_{\in W_1}+\underbrace{x_2+y_2}_{\in
W_2})\\
&=x_1+y_1=T(x)+T(y)
\end{aligned}
\] 且對於\(a\in F\)，有 \[
T(ax)=T(\underbrace{ax_1}_{\in W_1}+\underbrace{ax_2}_{\in
W_2})=ax_1=aT(x)
\] 故可知\(T\)是線性的。
而對於所有\(x\in W_1\)，有 \[
T(x)=T(\underbrace{x}_{\in W_1}+\underbrace{0}_{\in W_2})=x
\] 故 \[
W_1\subseteq\{x\in V:T(x)=x\}
\] 而對於所有滿足\(T(x)=x\)的\(x\in
V\)，存在\(x_1\in W_1\), \(x_2\in W_2\)使得\(x=x_1+x_2\)，故 \[
T(x)=x_1=x=x_1+x_2\Rightarrow x_2=0, x=x_1\in W_1
\] 故\(\{x\in V:T(x)=x\}\subseteq
W_1\)，結合上面即有 \[
W_1=\{x\in V:T(x)=x\}
\] QED
性質 13-3
沿用定義13的符號，則 \[ W_1=R(T), W_2=N(T) \]
證明：由於對於所有\(x\in W_1\)有\(x=T(x)\)，故\(W_1\subseteq R(T)\)。然而由定義有\(R(T)\subseteq W_1\)，故 \[ W_1=R(T) \] 而若\(T(x)=0\)，則 \[ 0=T(x)=T(x_1+x_2)=x_1 \] 故有 \[ x=x_1+x_2=x_2\in W_2 \] 即\(N(T)\subseteq W_2\)。而由定義有\(W_2\subseteq N(T)\)，故 \[ W_2=N(T) \] QED