這份筆記是關於向量空間的定義與性質。
向量空間
定義 1：體 (Field)
考慮一個集合\(F\)。我們在\(F\)上定義兩種運算：加法(\(+\))和乘法(\(\cdot\))
(定義在\(F\)上的意思是\(\forall a,b\in F\), \(a+b\in F\), \(a\cdot b\in F\)。)
若\(F\)符合以下五個公理，則稱\(F\)為體：
(F1) 交換律
(Communitativity)： \[
\forall a,b\in F, a+b=b+a, a\cdot b=b\cdot a
\] (F2) 結合律 (Associativity)： \[
\forall a,b,c\in F, (a+b)+c=a+(b+c), (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)
\] (F3) 單位元素 (Unit Element)： \[
\exists 0,1\in F\mbox{ s.t. }\forall a\in F, a+0=a, a\cdot 1=a
\] (F4) 反元素 (Inverse Element)： \[
\begin{aligned}
\forall a\in F, \exists (-a)\in F\mbox{ s.t. }a+(-a)&=0\\
\forall 0\neq b\in F, \exists b^{-1}\in F\mbox{ s.t.
}b\cdot(b^{-1})&=1
\end{aligned}
\] (F5) 分配律 (Distributivity)： \[
\forall a,b,c\in F, a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c
\]
定義 2：向量空間 (Vector Space)
給定向量集\(V\)與純量體\(F\)，以及我們在\(V\)上定義加法(\(\forall x,y\in V, x+y\in
V\))與純量乘法(\(\forall a\in F, v\in
V, a\cdot v\in V\))。若\(V\)符合以下八個公理，我們稱\(V\)為\(F\)上的向量空間：
(VS1) 加法交換律
(Additive Communitativity)： \[
\forall x,y\in V, x+y=y+x
\] (VS2) 加法結合律 (Additive Associativity)： \[
\forall x,y,z\in V, (x+y)+z=x+(y+z)
\] (VS3) 加法單位元素 (Additive Unit Element)： \[
\exists 0\in V\mbox{ s.t. }\forall x\in V, 0+x=x
\] (VS4) 加法反元素 (Additive Inverse Element)： \[
\forall x\in V, \exists y\in V\mbox{ s.t. }x+y=0
\] (VS5) 乘法單位元素 (Multiplicative Unit Element)： \[
\mbox{For }1\in F, \forall x\in V, 1\cdot x=x
\] (VS6) 乘法結合律 (Multiplicative Associativity)： \[
\forall a,b\in F,x\in V, a\cdot(b\cdot x)=(a\cdot b)\cdot x
\] (VS7) 左分配律 (Left-Distributivity)： \[
\forall a\in F, x,y\in V, a\cdot(x+y)=a\cdot x+a\cdot y
\] (VS8) 右分配律 (Left-Distributivity)： \[
\forall a,b\in F, x\in V, (a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x
\]
性質 2-1：消除法則 (Cancellation Law)
給定向量空間\(V\)與\(x,y,z\in V\)，若\(x+z=y+z\)，則\(x=y\)。
證明：我們有 \[ \begin{aligned} x+z=y+z&\Rightarrow(x+z)+(-z)=(y+z)+(-z)\\ &\Rightarrow x+(z+(-z))=y+(z+(-z))\;(VS2)\\ &\Rightarrow x+0=y+0\;(VS4)\\ &\Rightarrow x=y\;(VS3) \end{aligned} \] QED
性質 2-2
對於\(0\in F\)，有\(\forall x\in V\), \(0x=0\)。
證明：在\(F\)中\(0+0=0\;(F3)\)，故 \[ 0x+\underbrace{0}_{\in V}=0x=(0+0)x=0x+0x\; (VS8) \] 故由消除法則， \[ \bcancel{0x}+0x=\bcancel{0x}+0\Rightarrow 0x=0 \] QED
性質 2-3
對於\(0\in V\)，有\(\forall a\in F\), \(a\cdot 0=0\)。
證明：在\(V\)中\(0+0=0\;(VS3)\)，故 \[ a\cdot 0+a\cdot 0=a\cdot(0+0)=a\cdot 0=a\cdot 0+0 \] 故由消除法則， \[ \bcancel{a\cdot 0}+a\cdot 0=\bcancel{a\cdot 0}+0\Rightarrow a\cdot 0=0 \] QED
性質 2-4
\[
\forall a\in F, x\in V, (-a)x=-(ax)=a(-x)
\] 其中\(-(ax)\)是\(V\)中使\(ax+(-(ax))=0\)的向量。
證明：我們有 \[ \begin{aligned} ax+(-a)x&=(a+(-a))x\;(VS8)\\ &=0x=0\mbox{ (性質2-2)}\\ &=ax+(-(ax)) \end{aligned} \] 故由消除法則， \[ \bcancel{ax}+(-a)x=\bcancel{ax}+(-(ax))\Rightarrow (-a)x=-(ax) \] 而又有 \[ \begin{aligned} a(x+(-x))&=a\cdot 0=0\mbox{ (性質2-3)}\\ &=ax+a(-x)\;(VS7)\\ &=ax+(-(ax)) \end{aligned} \] 故由消除法則， \[ \bcancel{ax}+a(-x)=\bcancel{ax}+(-(ax))\Rightarrow a(-x)=-(ax) \] QED
定義 3：子空間 (Subspace)
給定向量空間\(V\)，若\(W\subseteq V\)也是向量空間，則稱\(W\)是\(V\)的子空間。
註記 3-1
由於定義2中的(VS1)~(VS8)在\(W\)中都成立，故我們只要檢查運算封閉性就好。意即\(W\)是\(V\)的子空間若且唯若： \[ \left\{ \begin{aligned} &\forall x,y\in W, x+y\in W\\ &\forall a\in F,x\in W, ax\in W \end{aligned} \right. \] (有些書上還會包含\(0\in W\)，但這其實可以從\(-x\in W\)而\(x+(-x)=0\in W\)推導而出)。
定理 4
任意多個\(V\)的子空間的交集還是\(V\)的子空間。
證明：令\(W_i\subseteq V\)為給定的子空間們，且\(i\in I\)，\(I\)為指標集(Index Set)。並令 \[ W=\bigcap_{i\in I}W_i \] 則對於所有\(x,y\in W\)，都有\(x,y\in W_i\), \(\forall i\in I\)，故由註記3-1有 \[ \forall i\in I,\left\{ \begin{aligned} &\forall x,y\in W_i, x+y\in W_i\\ &\forall a\in F,x\in W_i, ax\in W_i \end{aligned} \right. \] 於是 \[ \left\{ \begin{aligned} &\forall x,y\in W, x+y\in W\\ &\forall a\in F,x\in W, ax\in W \end{aligned} \right. \] 於是由註記3-1知\(W\)是\(V\)的子空間。QED
線性組合
定義 5：線性組合 (Linear Combination)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，並給定子集\(\varnothing\neq S\subseteq V\)。我們說\(x\in V\)是\(S\)的線性組合中的一個元素，若存在有限多元素\(y_1,\cdots,y_n\in S\)與\(a_1,\cdots,a_n\)使得 \[ x=a_1y_1+a_2y_2+\cdots+a_ny_n \]
定理 6
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，並給定子集\(\varnothing\neq S\subseteq
V\)。考慮集合\(W\)，其中\(W\)包含\(S\)中元素的所有線性組合，則\(W\)是\(V\)的子空間，且\(W\)是包含\(S\)的\(V\)的子空間之中最小的。
證明：給定\(y,z\in W\)，則由定義知存在\(a_i,b_j\in F, x_i,w_j\in S\)使得 \[
y=a_1x_1+\cdots+a_nx_n, z=b_1w_1+\cdots+b_mw_m
\] 則顯然\(y+z\in
W\)，且對於所有\(c\in F\)，
\[
cy=\underbrace{(ca_1)}_{\in F}x_1+\cdots+\underbrace{(ca_n)}_{\in
F}x_n\in W
\] 由註記3-1知\(W\)是\(V\)的子空間。
接著，我們令\(W'\)是另一個包含\(S\)的\(V\)的子空間，則對於所有\(y\in W\)，存在\(a_1,\cdots,a_n\in F\)使得 \[
y=a_1x_1+\cdots+a_nx_n
\] 然而\(x_1,\cdots,x_n\in S\subseteq
W'\)，所以\(y\in
W'\)。於是，有\(W\subseteq
W'\)。QED
定義 6-1：線性展式 (Linear Span)
定理5中的\(W\)稱為\(S\)的線性展式，記為 \[
\mbox{span}(S)=W
\] 並且，我們在這裡說\(S\)生成(Generate)\(W\)。
一般來說，我們約定\(\mbox{span}(\varnothing)=\{0\}\)。
線性相依與線性獨立
定義 7：線性相依與線性獨立 (Linear Dependent and Linear Independent)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，並給定子集\(S\subseteq V\)。則我們可以定義以下兩種特性：
定義 7-1：線性相依 (Linear Dependent)
我們說\(S\)是線性相依的，若存在有限多個不同向量\(x_1,\cdots,x_n\in S\)與不全為零的純量\(a_1,a_2,\cdots,a_n\in F\)使得 \[ a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=0 \]
定義 7-1-1：線性關係 (Linear Relation)
我們把定義6-1中的 \[ a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=0 \] 稱為線性關係。
定義 7-2：線性獨立 (Linear Independent)
若\(S\)不是線性相依的，則稱\(S\)為線性獨立的。
推論 7-3
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，並給定子集\(S_1\subseteq S_2\subseteq V\)。則：
1.
若\(S_1\)線性相依，則\(S_2\)線性相依。
2. 若\(S_2\)線性獨立，則\(S_1\)線性獨立。