這份筆記是關於向量空間的基底與維度。
基底
定義 1：基底 (Basis)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，我們說集合\(\beta\)是\(V\)的基底，若\(\beta\)線性獨立，且\(\mbox{span}(\beta)=V\)。
定理 2
給定\(F\)上的向量空間\(V\)，則集合\(\beta=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\)是\(V\)的基底 iff. \(\forall y\in V\)，\(y\)可以被唯一表為\(\beta\)中元素的線性組合，即\(\forall y\in V\)，存在唯一的一組\(a_1,\cdots,a_n\in F\)使得 \[ y=a_1x_1+\cdots+a_nx_n \]
證明：我們分成兩個部分證明：
「\(\Rightarrow\)」：令\(y\in\mbox{span}(\beta)=V\)，則存在\(a_1,\cdots,a_n\in F\)使得 \[
y=a_1x_1+\cdots+a_nx_n
\] 假設存在另一組\(b_1,\cdots,b_n\in
F\)使得 \[
y=a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b_1x_1+\cdots+b_nz_n
\] 則 \[
0=(a_1-b_1)x_1+(a_2-b_2)x_2+\cdots+(a_n-b_n)x_n
\] 由於\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)線性獨立，故 \[
a_1-b_1=a_2-b_2=\cdots=a_n-b_n=0
\] 也就是說\(y=a_1x_1+\cdots+a_nx_n\)的表示法是唯一的。
「\(\Leftarrow\)」：若對於所有\(y\in V\)，存在唯一的一組\(a_1,\cdots,a_n\in F\)使得 \[
y=a_1x_1+\cdots+a_nx_n
\] 則\(V\subseteq\mbox{span}(\beta)\)。又由這裡的定理6知\(\mbox{span}(\beta)\)是\(V\)的子空間，即\(\mbox{span}(\beta)\subseteq
V\)。於是，有\(V=\mbox{span}(\beta)\)。
接著，我們希望證明\(\beta\)線性獨立。假設存在不全為零的純量\(c_1,c_2,\cdots,c_n\in F\)使得 \[
c_1x_1+\cdots+c_nx_n=0
\] 則對於上述的\(y\in V\)，有
\[
\begin{aligned}
y&=y+0\\
&=(a_1x_1+\cdots+a_nx_n)+(c_1x_1+\cdots+c_nx_n)\\
&=(a_1+c_1)x_1+(a_2+c_2)x_2+\cdots+(a_n+c_n)x_n
\end{aligned}
\] 由於\(c_1,c_2,\cdots,c_n\in
F\)不全為零，故這是與\(y=a_1x_1+\cdots+a_nx_n\)不同的表示法。矛盾。於是知\(\beta\)是線性獨立的，即\(\beta\)是\(V\)的基底。QED
引理 3
給定\(F\)上的向量空間\(V\)與\(V\)的一個線性獨立的子集\(S\)，並給定\(x\in
V\), \(x\in S\)，則\(S\cup\{x\}\)線性相依 iff. \(x\in\mbox{span}(S)\)。
證明：我們分成兩個部分證明：
「\(\Rightarrow\)」：若\(S\cup\{x\}\)線性相依，則存在\(x_1,x_2,\cdots,x_n\in
S\cup\{x\}\)與不全為零的\(a_1,\cdots,a_n\in F\)使得 \[
a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=0
\] 然而\(S\)線性獨立，故\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)中必有一者為\(x\)。不失一般性假設\(x=x_1\), \(a_1\neq 0\)。則在\(F\)中\(a_1^{-1}\)存在，且 \[
x=a_1^{-1}(-a_2x_2-\cdots-a_nx_n)
\] 故知\(x\in\mbox{span}(S)\)。
「\(\Leftarrow\)」：由於\(x\in\mbox{span}(S)\)，故存在\(x_1,x_2,\cdots,x_n\in S\)與\(a_1,\cdots,a_n\in F\)使得 \[
x=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n
\] 故 \[
a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n+\textcolor{red}{(-1)}x=0
\] 故知\(S\cup\{x\}\)是線性相依的。QED
定理 4
若向量空間\(V\)由一有限集\(S_0\)生成，則存在某個\(S_0\)的子集\(\beta\)為\(V\)的基底。
證明：若\(S_0=\varnothing\)或\(\{0\}\)，則\(V=\{0\}\), \(\beta=\varnothing\)，結論是顯然的。
若\(S_0\)至少有一個非零元素，則可以挑選\(\beta=\{x_1,x_2,\cdots,x_r\}\subseteq
S_0\)使得對於所有\(x\in
S_0\)，\(\beta\cup\{x\}\)都線性相依，但\(\beta\)本身線性獨立。我們希望說明\(\mbox{span}(\beta)=V\)。然而如果\(S_0\subseteq\mbox{span}(\beta)\)的話，則因為\(\beta\subseteq V\)，故 \[
V=\mbox{span}(S_0)\subseteq\mbox{span}(\beta)\subseteq V
\] 於是便有\(\mbox{span}(\beta)=V\)。於是我們新的目標便是證明\(S_0\subseteq\mbox{span}(\beta)\)。
給定\(x\in S_0\)，則若\(x\in\beta\)，則有\(x\in\mbox{span}(\beta)\)。若\(x\notin\beta\)，則我們假設\(x\notin\mbox{span}(\beta)\)。由引理3，\(\beta\cup\{x\}\)是線性獨立的。但這與\(\beta\)的定義矛盾。故應有\(x\in\mbox{span}(\beta)\)。於是，我們確實有\(S_0\subseteq\mbox{span}(\beta)\)。QED
取代定理
定理 5：取代定理 (Replacement Theorem)
給定\(F\)上的向量空間\(V\)與\(V\)的基底\(\beta\)，其中\(\beta\)的元素個數為\(|\beta|=n\)。我們令\(S=\{y_1,y_2,\cdots,y_k\}\)是\(V\)的線性獨立子集，其中\(k\leq n\)，則存在\(\beta\)的子集\(S_1\)使得\(|S_1|=n-k\)且\(S\cup S_1\)是\(V\)的基底。
證明：由於\(n\)是固定的，我們在這裡對\(k\)做數歸納法。
1. 當\(k=0\)時，有\(S=\varnothing\)，故可以令\(S_1=\beta\)，則\(S\cup S_1\)顯然是\(V\)的基底。
2. 假設當\(k=m<n\)時敘述成立，則當\(k=m+1\)時，令\(S=\{y_1,y_2,\cdots,y_{m+1}\}\)為\(V\)的線性獨立子集。由這裡的註記7-3知\(\{y_1,y_2,\cdots,y_m\}\)也是線性獨立的。由歸納法假設，存在\(\{x_1,\cdots,x_{n-m}\}\subseteq\beta\)使得
\[
\{y_1,y_2,\cdots,y_m\}\cup\{x_1,\cdots,x_{n-m}\}
\] 生成\(V\)且是線性獨立的。故存在\(a_1,\cdots,a_m,b_1,\cdots,b_{m-n}\in
F\)使得 \[
y_{m+1}=a_1y_1+\cdots+a_my_m+b_1x_1+\cdots+b_{n-m}x_{n-m}
\] 並且這裡需要\(b_i\)不全為零，不然 \[
a_1y_1+\cdots+a_my_m+\textcolor{red}{(-1)}y_{m+1}=0
\] 這會導致\(S\)線性相依。WLOG，我們可以假設\(b_1\neq 0\)。則 \[
\begin{aligned}
&x_1=b_1^{-1}(a_1y_1+\cdots+a_my_m+(-y_{m+1})+b_2x_2+\cdots+b_{n-m}x_{n-m})\\
\Rightarrow&x_1\in\mbox{span}(\{y_1,\cdots,y_m,y_{m+1},x_2,\cdots,x_{n-m}\})
\end{aligned}
\] 故 \[
\begin{aligned}
&\{y_1,\cdots,y_m,y_{m+1},\textcolor{red}{x_1},x_2,\cdots,x_{n-m}\}\\
&\subseteq\mbox{span}(\{y_1,\cdots,y_m,y_{m+1},x_2,\cdots,x_{n-m}\})\\
&=\mbox{span}(\{y_1,\cdots,y_m,y_{m+1},\textcolor{red}{x_1},x_2,\cdots,x_{n-m}\})
\end{aligned}
\] 則 \[
\begin{aligned}
V&=\mbox{span}(\{y_1,\cdots,y_m,\textcolor{red}{x_1},x_2,\cdots,x_{n-m}\})\\
&=\mbox{span}(\{y_1,\cdots,y_m,\textcolor{blue}{y_{m+1}},\textcolor{red}{x_1},x_2,\cdots,x_{n-m}\})\\
&=\mbox{span}(\{y_1,\cdots,y_m,\textcolor{blue}{y_{m+1}},x_2,\cdots,x_{n-m}\})\mbox{
(☆)}
\end{aligned}
\] 然而，假設 \[
y_{m+1}\in\mbox{span}(\{y_1,\cdots,y_m,x_2,\cdots,x_{n-m}\})
\] 則存在\(c_1,c_2,\cdots,c_m,d_1,d_2,\cdots,d_{n-m}\in
F\)使得 \[
\begin{aligned}
y_{m+1}&=a_1y_1+\cdots+a_my_m+\textcolor{red}{b_1x_1}+b_2x_2+\cdots+b_{n-m}x_{n-m}\\
&=c_1y_1+\cdots+c_my_m+d_2x_2+\cdots+d_{n-m}x_{n-m}
\end{aligned}
\] 則 \[
\underbrace{-b_1}_{\neq
0}x_1+(a_1-c_1)y_1-(a_2-c_2)+\cdots+(a_m-c_m)y_m+(b_2-d_2)x_2+\cdots+(b_{n-m}-d_{n-m})x_{n-m}=0
\] 這導致\(\{x_1,x_2,\cdots,x_{n-m},y_1,y_2,\cdots,y_m\}\)是線性相依的。矛盾。故應有
\[
y_{m+1}\notin\mbox{span}(\{y_1,\cdots,y_m,x_2,\cdots,x_{n-m}\})
\] 由引理3，\(\{y_1,\cdots,y_m,y_{m+1},x_2,\cdots,x_{n-m}\}\)是線性獨立的。而結合(☆)式，可以知道\(\{y_1,\cdots,y_m,y_{m+1},x_2,\cdots,x_{n-m}\}\)是\(V\)的基底。可見定理在\(k=m+1\)時成立。
由數學歸納法可知定理對任意\(k\)都成立。QED
推論 5-1
考慮向量空間\(V\)與其基底\(\beta\)，其中\(|\beta|=n\)。則任何恰有\(n\)個元素且線性獨立的\(V\)的子集都是\(V\)的基底。
證明：令\(S=\{y_1,\cdots,y_m\}\subseteq V\)是線性獨立的，則由取代定理知\(S=S\cup\varnothing\)是\(V\)的基底。QED
推論 5-2
考慮向量空間\(V\)與其基底\(\beta\)，其中\(|\beta|=n\)。則任一包含多於\(n\)個元素的\(V\)的子集都是線性相依的。
證明：給定\(S\subseteq V\)，其中\(|S|\geq n+1\)。假設\(S\)線性獨立，則給定\(S_1\subseteq S\)，其中\(|S_1|=n\)。因為\(S\)線性獨立，所以\(S_1\)也線性獨立(這裡的註記7-3)。由推論5-1知\(S_1\)是\(V\)的基底，故任何在\(S-S_1\neq\varnothing\)的元素都是\(S_1\)中元素的線性組合。這導致\(S\)是線性相依的，矛盾。QED
維度
註記 6
考慮向量空間\(V\)與其基底\(\beta\)，其中\(|\beta|=n\)。則\(V\)的任意基底都有恰\(n\)個元素。
證明：令\(S\)為\(V\)的基底，則因為\(S\)線性獨立，故由推論5-2知應有\(|S|\leq|\beta|\)。同理應有\(|\beta|\leq|S|\)，故\(|S|=|\beta|=n\)。QED
定義 6-1：維度 (Dimension)
考慮向量空間\(V\)與其基底\(\beta\)，若\(\beta\)的元素個數有限多，則稱\(V\)的維度為 \[ \dim(V)=|\beta| \]
推論 6-2
考慮向量空間\(V\)，其中\(\dim(V)=n\)，並給定子集\(S\subseteq V\)，其中\(|S|\leq n\)且\(\mbox{span}(S)=V\)，則\(S\)是\(V\)的基底。
證明：由定理4知存在\(S_1\subseteq S\)使得\(S_1\)是\(V\)的基底。則由註記6知\(|S_1|=n\)。但 \[ n=|S_1|\leq|S|=n \] 故\(|S|=n\), \(S_1=S\)，即\(S\)是\(V\)的基底。QED
推論 6-3
考慮有限維向量空間\(V\)與其基底\(\beta\)，其中\(|\beta|<\infty\)。若\(S\)是\(V\)的線性獨立子集，則存在\(S_1\subseteq\beta\)使得\(S\cup S_1\)是\(V\)的基底。
證明：由推論5-2知\(|S|\leq|\beta|\)，而由取代定理(定理5)知所要求的\(S_1\)存在。QED
定理 7
考慮有限維的向量空間\(V\)，且\(W\)為\(V\)的子空間。則\(W\)是有限維的，且\(\dim(W)\leq\dim(V)\)。特別的，若\(\dim(W)=\dim(V)\)，則\(W=V\)。
證明：令\(\dim(V)=n\)。若\(W=\{0\}\)，則\(W=\mbox{span}(\varnothing)\)，又\(|\varnothing|=0\)，故\(\dim(W)=0\) i.e. \(W\)是有限維的且\(\dim(W)\leq\dim(V)\)。
若\(W\)包含至少一個非零元素\(x_1\neq 0\)，則易知\(\{x_1\}\)是線性獨立的。然後再找一個元素\(x_2\in W\)，使得\(\{x_1,x_2\}\)是線性獨立的。如此繼續，直到有一組\(\{x_1,x_2,\cdots,x_k\}\subseteq
W\)是線性獨立的，且對於所有\(w\in
W\)，都有\(\{x_1,x_2,\cdots,x_k,w\}\subseteq W\subseteq
V\)是線性相依的。則由推論5-2知\(k\leq
n\)。且我們知道 \[
\mbox{span}(\{x_1,x_2,\cdots,x_k\})\subseteq W\mbox{ (★)}
\] 而\(\forall w\in
W\)，由於\(\{x_1,x_2,\cdots,x_k,w\}\)是線性相依的，故由引理3知有
\[
w\in\mbox{span}(\{x_1,x_2,\cdots,x_k\})
\] 故 \[
W\subseteq\mbox{span}(\{x_1,x_2,\cdots,x_k\})
\] 結合(★)式，即有 \[
W=\mbox{span}(\{x_1,x_2,\cdots,x_k\})
\] 故 \[
\dim(W)=k\leq n=\dim(V)
\] 若\(k=n\)，則由推論5-1知\(\{x_1,x_2,\cdots,x_k\}\)也是\(V\)的基底，故 \[
W=\mbox{span}(\{x_1,x_2,\cdots,x_k\})=V
\] QED