這份筆記是關於簡單曲面上散度定理的證明。
簡單曲面上的散度定理
定理 1：簡單曲面上的散度定理(Divergence Theorem on Simple Surfaces)
若是\(\mathbb{R}^3\)中的一區域\(R\)的邊界\(\tau\)是簡單曲面，則 \[
\iiint_R(a_x+b_y+c_z)dxdydz=\iint_\tau(a,b,c)\cdot nd\sigma
\] (這是三維散度定理的推廣，見這裡的定理12-3，這裡的差別是不需要雅可比行列式非零的條件了。)
證明：我們需要一個引理。
引理 1-1
若\(R\)中的每一點\(Q\)都有半徑為\(\epsilon_Q\)的鄰域使得定理1對於在該鄰域外函數值皆為零的函數\((a,b,c)\)都成立，則定理1一般來說也成立。
引理的證明：考慮這裡的註記4中的\(\psi_Q\)。由於該處的\(\psi_Q\)沒有連續的一階導數，故我們微調\(\psi_Q\)為： \[
\psi_Q(P)=\left\{
\begin{aligned}
\left(\epsilon^2-4\overline{PQ}^2\right)^2&,\mbox{ if
}\overline{PQ}<\frac{1}{2}\epsilon\\
0&,\mbox{ otherwise}
\end{aligned}
\right.
\] 於是，和前面一樣令 \[
\chi_i(P)=\frac{\psi_{Q_i}(P)}{\sum_{i=1}^N\psi_{Q_i}(P)}
\] 於是有\(a=\sum a\chi_i\),
\(b=\sum b\chi_i\), \(c=\sum c\chi_i\)(可以參照這裡定義2的單位分解法)。由假設\(\forall\chi_i\), \((a\chi_i,b\chi_i,c\chi_i)\)都符合散度定理，故加起來的\((a,b,c)\)也符合散度定理。QED
回到定理，由引理1-1我們知道我們只要證明只在\(Q\)附近含數值不為零的\((a,b,c)\)有散度定理就好。我們分成以下兩種狀況討論：
狀況 1：\(Q\)在\(R\)內部(不在邊界上)，則可以選擇\(\epsilon_Q\) s.t. 以\(Q\)為中心、以\(2\epsilon_Q\)為半徑的球落在\(R\)內(見下圖1)。
假設\(A=(a,b,c)\)在這個球外都是零，則顯見\(\tau\)在球外，故\((a,b,c)\)在其上也是零，即 \[ \iint_\tau A\cdot nd\sigma=0 \] 我們接著希望說明 \[ \iiint_R(a_x+b_y+c_z)dxdydz=0 \] 我們把\((a,b,c)\)擴展到\(\mathbb{R}^3\)上，且在小球外的部分一樣全部是零，故 \[ \iiint_R(a_x+b_y+c_z)dxdydz=\iiint_{\mathbb{R}^3}(a_x+b_y+c_z)dxdydz \] 而 \[ \iiint_{\mathbb{R}^3}c_zdxdydz=\iint_{\mathbb{R}^2}\left(\int_{-\infty}^\infty c_z(x,y,z)dz\right)dxdy \] 但是 \[ \int_{-\infty}^\infty c_z(x,y,z)dz=\lim_{B\to\infty}\int_{-B}^Bc_zdz=\underbrace{\lim_{B\to\infty}c(x,y,B)}_{=0}-\underbrace{\lim_{B\to\infty}c(x,y,-B)}_{=0}=0 \] 對\(a_x\)和\(b_y\)也做一樣的事，就有 \[ \iiint_R(a_x+b_y+c_z)dxdydz=0=\iint_\tau A\cdot nd\sigma \]
狀況 2：\(Q\)在\(R\)的邊界點上 i.e. \(Q\)在\(\tau\)上。則由已知\(\tau\)在\(Q\)附近的一小塊鄰域上是基本曲面，意即可以表示為\(z=F(x,y)\)。令 \[
R=\{(x,y,z):z\leq F(x,y)\}
\] (\(R=\{(x,y,z):z\geq
F(x,y)\}\)的推論過程一模一樣，並且一般狀況的\(R\)可以用這兩種狀況拼湊出來)。並把向外指的法向量記為\((\xi,\eta,\delta)\)，其中\(\delta>0\)(見下圖2)。
我們一樣假定\(a,b,c\)在\(Q\)的半徑為\(\epsilon_Q\)的鄰域以外都是零。我們令\(u=x,v=y\)，則 \[ \iint_\tau c\delta d\sigma=\iint_\tau cdxdy \] (見這裡的註記11)。和狀況1類似，我們把\(c\)擴展到整個空間中，並令在上述的小球以外\(c=0\)。則 \[ \iiint_R c_zdxdydz=\iiint_{z\leq F(x,y)}c_zdxdydz=\iint h(x,y)dxdy\mbox{ (☆)} \] 其中 \[ h(x,y)=\int_{-\infty}^{F(x,y)}c_zdz=c(x,y,F(x,y)) \] (因為\(c(x,y,-\infty)=0\))。但由定義，又有 \[ \begin{aligned} \iint_\tau c\delta d\sigma&=\iint_{z=F(x,y)}c(x,y,z)dxdy\\ &=\iint c(x,y,F(x,y))dxdy \end{aligned} \] 對照(☆)式，有 \[ \iiint_R c_zdxdydz=\iint_\tau c\delta d\sigma \] 同理，有 \[ \begin{aligned} \iint_\tau a\xi d\sigma&=\iiint_R a_xdxdydz\\ \iint_\tau b\eta d\sigma&=\iiint_R b_ydxdydz \end{aligned} \] 於是，便有 \[ \iiint_R [a_x+b_y+c_z]dxdydz=\iint_\tau a\xi+b\eta+c\delta d\sigma \] QED
簡單曲面上的斯托克斯定理
定理 2：簡單曲面上的斯托克斯定理(Stokes' Theorem on Simple Surfaces)
在\(\mathbb{R}^3\)中給定定向簡單曲面\(S\)，且該曲面以閉曲線\(C\)為邊界。我們將\(S\)和\(C\)定向為\(S^*\)和\(C^*\)，使得\(S^*\)在\(C^*\)的正向側。 令\(A=(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\)為向量場，則
\[
\iint_S (\mbox{curl }A)\cdot nd\sigma=\int_C A\cdot tds
\] 其中\(n=\left(\frac{dx}{dn},
\frac{dy}{dn}, \frac{dz}{dn}\right)\) 是\(S\)的法向量，而\(t=\left(\frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds},
\frac{dz}{ds}\right)\)是\(C\)的切線向量。
證明：這和上面定理1的證明步驟幾乎是一模一樣的，一樣是用單位分解法，在這裡就略過細節了。QED