這份筆記是關於單位分解法的概念介紹與簡單曲面上的積分。
單位分解法
概念 1
令\(\chi_1+\chi_2+\cdots+\chi_n=1\)，其中\(\chi_1,\chi_2,\cdots,\chi_n\)是夠好的函數，則對於函數\(f(x)\)，有 \[ f(x)=f(x)\chi_1+f(x)\chi_2+\cdots+f(x)\chi_n \]
定義 2：單位分解 (Partition of Unity)
給定簡單曲面\(\tau\)，我們稱集合\(S\subseteq\tau\)上的單位分解為有限多個連續函數\(\chi_1,\chi_2,\cdots,\chi_N\)，且這些函數滿足以下三個條件：
1. \(\chi_i(p)\geq 0, \forall p\in
S\)
2. \(\chi_1(p)+\chi_2(p)+\cdots+\chi_N(p)=1,\forall
p\in S\)
3. \(\forall 1\leq i\leq
N\)，存在基本曲面\(\sigma_i\subseteq\tau\) s.t. 當\(p\notin\sigma_i\)時，\(\chi_i(p)=0\)(見下圖1)。
我們先假設單位分解總是存在，我們要接著定義函數在簡單曲面上的積分。
簡單曲面上的積分
定義 3：簡單曲面上的積分 (Integral on a Simple Surface)
考慮簡單曲面\(\tau\)，並給定函數\(F\)在\(\tau\)的一個鄰域上連續，則我們可以定義\(\iint_\tau Fd\sigma\)，方法如下：我們令\(\chi_1,\chi_2,\cdots,\chi_N\)是\(\tau\)上的單位分解，則 \[ F(x)=F(x)\chi_1(x)+F(x)\chi_2(x)+\cdots+F(x)\chi_n(x) \] 於是\(F(x)\chi_i(x)\)就是在基本曲面上的函數了，可以定義 \[ \iint_\tau Fd\sigma=\sum_{i=1}^N \iint_{\sigma_i}F(x)\chi_i(x)d\sigma \]
註記 3-1
上面的定義是良好的，意即積分的結果與\(\chi_1,\chi_2,\cdots,\chi_N\)的選擇無關。
證明：假設\(\chi_1',\chi_2',\cdots,\chi_m'\)是另一個\(\tau\)的單位分解，其對應到的基本曲面是\(\sigma_1',\sigma_2',\cdots,\sigma_m'\)。對於任何\(1\leq i\leq N\)和\(1\leq k\leq m\)，我們知道\(\sigma_i\cap\sigma_k'\)仍是一個基本曲面。更甚者，我們知道函數\(F\cdot \chi_i\cdot \chi_k'\)在某個緊緻集外都是零。故 \[ \begin{aligned} \iint_\tau Fd\sigma&=\sum_i\iint_{\sigma_i}F\chi_id\sigma\\ &=\sum_i\sum_k\iint_{\sigma_i}F\chi_i\chi_k'd\sigma\\ &\mbox{(因為}\chi_1'+\chi_2'+\cdots+\chi_m'=1\mbox{)}\\ &=\sum_i\sum_k\iint_{\sigma_i\cap\sigma_k'}F\chi_i\chi_k'd\sigma\\ &\mbox{(因為}F\chi_i\chi_k'\mbox{在}\sigma_i\cap\sigma_k'\mbox{以外都是零)}\\ &=\sum_k\sum_i\iint_{\sigma_k'\cap\sigma_i}F\chi_k'\chi_id\sigma\\ &=\sum_k\iint_{\sigma_k'}F\chi_k'd\sigma\\ &\mbox{(因為}\chi_1+\chi_2+\cdots+\chi_N=1\mbox{)} \end{aligned} \] 於是，我們知道積分和\(\chi_1,\chi_2,\cdots,\chi_N\)的選擇無關。QED
單位分解法的存在性
註記 4
任意有界簡單曲面\(\tau\)上都存在單位分解。
證明：給定\(\tau\)上一點\(Q\)，由定義知存在\(\epsilon=\epsilon(Q)\)使得\(\tau\)上與\(Q\)距離小於\(\epsilon\)的點構成一基本曲面。令該曲面為\(\sigma_Q\)。
在\(\sigma_Q\)上，定義函數 \[
\psi_Q(P)=\left\{
\begin{aligned}
\epsilon-2\overline{PQ}&,\mbox{ if
}\overline{PQ}<\frac{1}{2}\epsilon\\
0&,\mbox{ otherwise}
\end{aligned}
\right.
\] 函數圖形可以見下圖2。
可以發現\(\psi_Q\)是連續的，且集合\(\{P:\overline{PQ}\leq\frac{1}{2}\epsilon\}\)是緊緻的(是閉且有界的，見這裡的註記2-1與定義2-1-1)，即\(\psi_Q\)在一個緊緻集以外都是零。
於是，對於每個\(S\)上的點\(Q\)都可以做一樣的事情，也就是生出一個以\(Q\)為中心、半徑為\(\frac{1}{2}\epsilon_Q\)的球。根據海涅-波雷爾定理(這裡的定理5)，存在分別以\(Q_1,Q_2,\cdots,Q_N\)為中心的有限多個球把\(S\)蓋住。
於是，定義 \[
\chi_i(P)=\frac{\psi_{Q_i}(P)}{\psi_{Q_1}(P)+\psi_{Q_2}(P)+\cdots+\psi_{Q_N}(P)}
\] (因為\(P\)一定會落在某個\(\sigma_{Q_i}\)內，在這之中\(\psi_{Q_i}(P)\)非零，故分母不會是零)。於是，有\(\chi_1+\chi_2+\cdots+\chi_N=1\)。QED