這份筆記是關於斯托克斯定理與其證明。
斯托克斯定理
回想 1：散度定理
我們在\(\mathbb{R}^2\)上證明過(這裡的定理6) \[ \iint_R\mbox{div }A\; dxdy=\int_C A\cdot nds \] 我們想要推導這個公式的三維版本(其實三維散度定理(這裡的定理12-3)頂多算高斯定理的變形)。
定義 2：旋度 (Curl)
令\(A=(a,b,c)\)為一向量場，則我們令其旋度為 \[ \mbox{curl }A=(c_y-b_z,a_z-c_x,b_x-a_y) \] 可以發現旋度是另一個向量場。且又可以寫做 \[ \mbox{curl }A=\nabla\times A,\;\mbox{where }\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right) \] 上面的\(\nabla\times A\)是外積。
註記 2-1
若\(\mbox{div }V=0\) i.e. \(V_x+V_y+V_z=0\)，則\(V\)可被表為某個向量場\(A\)的旋度。反過來說，給定向量場\(A\)，有\(\mbox{div}(\mbox{curl }A)=0\)。(證略)
定理 3：正規曲面上的斯托克斯定理 (Stokes' Theorem on Regular Surfaces)
在\(\mathbb{R}^3\)中給定定向正規曲面\(S\)，且該曲面以閉曲線\(C\)為邊界。我們將\(S\)和\(C\)定向為\(S^*\)和\(C^*\)，使得\(S^*\)在\(C^*\)的正向側(見下圖1)。
令\(A=(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\)為向量場，則
\[
\iint_S (\mbox{curl }A)\cdot nd\sigma=\int_C A\cdot tds
\] 其中\(n=\left(\frac{dx}{dn},
\frac{dy}{dn}, \frac{dz}{dn}\right)\) 是\(S\)的法向量，而\(t=\left(\frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds},
\frac{dz}{ds}\right)\)是\(C\)的切線向量。
證明：由旋度的定義，我們可以把斯托克斯定理改寫為
\[
\iint_S\left((c_y-b_z)\frac{dx}{dn}+(a_z-c_x)\frac{dy}{dn}+(b_x-a_y)\frac{dz}{dn}\right)d\sigma=\int_C\left(a\frac{dx}{ds}+b\frac{dy}{ds}+c\frac{dz}{ds}\right)ds
\] 令 \[
L=adx+bdy+cdz, w=(c_y-b_z)dydx+(a_z-c_x)dzdx+(b_x-a_y)dxdy
\] 然後，斯托克斯定理就又可表為 \[
\iint_{S^*}(c_y-b_z)dydx+(a_z-c_x)dzdx+(b_x-a_y)dxdy=\int_{C^*}adx+bdy+cdz
\] 由於我們假設了\(S\)是正規曲面，故\(S\)上的點\((x,y,z)\)可以表為 \[
x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)
\] 又令 \[
\xi=\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},
\eta=\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},
\tau=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}
\] 由正規曲面的假設，\(\xi,\eta,\tau\)不會全為零。
令\((u,v)\)在平面上被限於\(\Sigma^*\)內，且\(\Gamma^*\)是\(\Sigma^*\)的邊界，並假設\(\Sigma^*\)打到\(S^*\)是一對一的(見下圖2)。
則有 \[ \begin{aligned} L&=adx+bdy+cdz\\ &=a(x_udu+x_vdv)+b(y_udu+y_vdv)+c(z_udu+z_vdv)\\ &=(ax_u+by_u+cz_u)du+(ax_v+by_v+cz_v)dv \end{aligned} \] 以及 \[ w=\frac{w}{dudv}dudv=[(c_y-b_z)\xi+(a_z-c_x)\eta+(b_x-a_y)\tau]dudv \] 於是有 \[ \int_{C^*}L=\int_{\Gamma^*}L, \iint_{S^*}w=\iint_{\Sigma^*}w \] 而使用高斯定理(這裡的定理3)，會有 \[ \iint_{\Sigma^*}w=\int_{\Gamma^*}L \] 於是就有斯托克斯定理 \[ \iint_{S^*}w=\int_{C^*}L \] QED
註記 3-1
我們這裡只證明了正規曲面上的散度定理。若要看更一般狀況下的證明，可以看這裡的定理2。
註記 3-2
沿用註記2-1的符號，假設\(V\)是\(A\)的旋度場，則由斯托克斯定理， \[ \iint_S V\cdot nd\sigma=\iint_S(\mbox{curl }A)\cdot nd\sigma=\int_C A\cdot tds \] 意即，當\(\mbox{div }V=0\)時，\(\iint_S V\cdot nd\sigma\)只和邊界\(C\)有關，而與\(S\)的具體形狀無關。