這份筆記是關於開集與閉集的定義與基本性質。
開集與閉集
定義 1：邊界 (Boundary)
考慮集合\(S\)及一點\(P\)。我們說\(P\)是\(S\)的邊界，若對於所有\(\epsilon>0\)，\(B_\epsilon(P)=\{x:|x-P|<\epsilon\}\)中有\(S\)中的點也有不在\(S\)中的點。
定義 1-1：球 (Ball)
上面的 \[ B_\epsilon(P)=\{x:|x-P|<\epsilon\} \] 稱為以\(P\)為中心，\(\epsilon\)為半徑的球。
定義 2：閉集 (Closed Set)
若一集\(S\)包含其所有的邊界點，則稱\(S\)是閉集。
註記 2-1
任何有界閉集中的序列都有一個子序列收斂到某個\(S\)中的點。
證明：這是魏爾斯特拉斯定理的推廣，可見這裡的定理4。QED
定義 2-1-1：緊緻 (Compact)
若一集的所有序列都有收斂到集合中的子序列，則稱此集合緊緻。
定義 3：開集 (Open Set)
若一集的補集是閉的，則稱該集是開的。
定義 4：覆蓋 (Covering)
給定一串集合\(\{u_i\}^\infty_{i=1}\)，若對集合\(S\)有 \[ S\subset\bigcup_{i=1}^\infty u_i \] 則稱\(\bigcup\limits_{i=1}^\infty u_i\)是\(S\)的覆蓋(或者，有時候也會稱\(\{u_i\}^\infty_{i=1}\)為\(S\)的覆蓋)。
定理 5：海涅-波雷爾定理 (Heine-Borel Theorem)
給定緊緻集\(S\subset\mathbb{R}^n\)，令\(\Sigma=\{u_i\}^\infty_{i=1}\)是\(S\)的開覆蓋(即所有\(u_i\)都是開集)，則存在有限子覆蓋使得 \[ S\subset\bigcup_{i=1}^N u_i \]
證明：這裡以二維(即\(\mathbb{R}^2\))的狀況舉例證明，其他狀況同理。
由定義知\(S\)應該要有界，故可以假設\(S\)被包在一個矩形\(Q\)裡(見下圖1)。
如果\(S\)不能被有限個子覆蓋蓋住，則把\(Q\)四等分，\(S\)也會被分成(至多)四塊。於是，至少有一塊無法被有限個子覆蓋蓋住。假設是\(Q_1\)，則再將\(Q_1\)四等分。如此迴環往復，可以挑出一串越來越小的集合\(Q_1,Q_2,\cdots\)。而這些集合中\(S\)的部分都無法被有限個子覆蓋蓋住。顯見\(Q_1\supset Q_2\supset Q_3\cdots\)，且\(Q_i\)的大小趨近於\(0\)。在每個\(Q_i\cap S\)中挑一個\(x_i\)建構數列\(\{x_i\}\)。由緊緻的定義知\(\{x_i\}\)會收斂到\(S\)中的點(原本的定義是子序列，但這裡顯然\(\{x_i\}\)收斂)。假設收斂到\(p\in S\)，則由假設，存在\(U_0\in\Sigma\)使得\(p\in U_0\)。
接著，我們需要一個引理：
引理 5-1
若\(S\)是開集且\(p\in S\)，則存在\(\epsilon>0\) s.t. \(B_\epsilon(p)\subset S\)。
引理的證明：假設不是 i.e.
對於所有\(\epsilon>0\), \(B_\epsilon(p)\nsubseteq S\)。則令\(\epsilon=\frac{1}{n}\)，可以挑出\(x_n\) s.t. \(x_n\in B_{1/n}(p)\)但\(x\notin S\)。易知\(x_n\to p\)，但由定義\(S\)的補集\(S^c\)是閉集，故\(p\in S^c\) i.e. \(p\notin
S\)。矛盾。QED
回到定理5，我們知道存在\(\epsilon>0\) s.t. \(B_\epsilon(p)\subset U_0\)。而\(x_i\in Q_i\), \(x_i\to p\)，於是\(Q_i\subset B_\epsilon(p)\subset
U_0\)。可以發現這裡只用了一個覆蓋就把\(Q_i\)蓋住了，矛盾。QED
