這份筆記是關於魏爾斯特拉斯逼近定理的證明。
魏爾斯特拉斯逼近定理
定理 1：魏爾斯特拉斯逼近定理 (Weierstrass Approximation Theorem)
連續函數可以被多項式一致逼近。
定義 1-1：一致逼近 (Uniform Approximation)
給定定義在\([a,b]\)上的函數\(f(x)\)，即函數集合\(\{f_n\}\)。若對於所有\(\epsilon>0\)，都存在某個\(f_n\)使得對所有\(x\in[a,b]\)有\(|f(x)-f_n(x)|<\epsilon\)，則稱\(f\)被\(\{f_n\}\)一致逼近。
引理 1-2
給定\(I\subset[-\pi,\pi]\)的閉區間\(I\)，並給定在\(I\)上連續的\(f\)。則給定\(\epsilon>0\)，存在一個三角多項式\(S_n(x)\) s.t. \(|S_n(x)-f(x)|<\epsilon\)。
定義 1-2-1：三角多項式 (Trigonometric Polynomial)
即形如 \[
\sum_{k=0}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\] 的函數。
引理的證明：我們希望找出\(g\) s.t. \(|g-f|<\epsilon\)且\(g,g'\)都連續，則由這裡的註記22-1知存在三角多項式\(S_n(x)\) s.t. \(|S_n(x)-g(x)|<\epsilon\)，且 \[
|S_n(x)-f(x)|\leq|S_n(x)-g(x)|+|g(x)-f(x)|<2\epsilon
\] 於是就有引理了。
因為\(f\)在閉區間\(I\)上連續，故\(f\)在\(I\)上一致連續(這裡的定理4)
i.e. 給定\(\epsilon>0\), \(\exists\delta>0\) s.t. \(\forall |x-y|<\delta,
|f(x)-f(y)|<\epsilon\)。我們把\(I\)分成許多長度為\(\delta\)的小區間，並令\(g\)為區間端點函數值連成的折線(見下圖1)。
可以發現\(g\)和\(g'\)都片段連續，且處處都有\(|g-f|<\epsilon\)(這來自\(f\)的一致連續)。QED
定理的證明：我們可以用一個線性變換把\([a,b]\)移去\([-\pi/2,\pi/2]\)，於是可以直接假設\([a,b]\subset[-\pi,\pi]\)。由引理1-2，存在
\[
S_n(x)=\frac{a_0}{2}+(a_1\cos x+a_2\cos 2x+\cdots+a_n\cos nx+b_1\sin
x+b_2\sin 2x+\cdots+b_n\sin nx)
\] 使得\(|S_n(x)-f(x)|<\epsilon\)。我們希望說明存在多項式
\[
P_m(x)=a_0'+a_1'x+a_2'x^2+\cdots+a_m'x^m
\] 使得\(|P_m(x)-S_n(x)|<\epsilon\)(這裡的說明和引理中相似)。而這是簡單的，因為\(S_n\)都是\(\sin\)和\(\cos\)，所以使用\(S_n(x)\)的泰勒多項式就好。QED