這份筆記是關於伯努利多項式與伯努利數。
伯努利多項式
定義 1：伯努利多項式 (Bernoulli Polynomials)
我們用以下方是定義在\([0,1]\)上的多項式\(\phi_n\)：
1. \(\phi_0(x)=1\)
2. \(\phi_n'(x)=\phi_{n-1}(x)\)
3. \(\int_0^1\phi_n(x)dx=0\)
這樣定義出來的\(\phi_n\)稱為伯努利多項式。
例 1-1
我們有 \[ \begin{aligned} \phi_0(x)&=1\\ \phi_1(x)&=x-\frac{1}{2}\\ \phi_2(x)&=\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{12}\\ \phi_3(x)&=\frac{x^3}{6}-\frac{1}{4}x^2+\frac{x}{12} \end{aligned} \]
註記 1-2
對於\(n\geq 1\)，有 \[ \phi_n(1)-\phi_n(0)=\int_0^1\phi_n'(x)dx=\int_0^1\phi_{n-1}(x)dx=0 \]
註記 1-3
我們用這裡的註記3的方式把\(\phi_n\)擴展到\(\mathbb{R}\)上，將其記為\(\psi_n(x)\)。令\(\phi(x)=x\)，有 \[ \psi_1(x)=\frac{1}{2\pi}\phi(2\pi x-\pi) \] 且 \[ \phi(x)=x=2\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{\sin nx}{n} \] (這是傅立葉級數)故有 \[ \psi_1(x)=-\frac{1}{\pi}\left(\frac{\sin 2\pi x}{1}+\frac{\sin 4\pi x}{2}+\frac{\sin 6\pi x}{3}+\cdots\right) \] 再用定義1中的遞迴式，有 \[ \psi_n(x)=\left\{ \begin{aligned} (-1)^{\frac{n}{2}+1}\cdot\frac{2}{(2\pi)^n}\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos 2\pi kt}{k^n}&,n\mbox{ is even}\\ (-1)^{\frac{n+1}{2}}\cdot\frac{2}{(2\pi)^n}\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin 2\pi kt}{k^n}&,n\mbox{ is odd} \end{aligned} \right. \] 顯見\(n\)為偶數時\(\psi_n\)是偶函數，而\(n\)為奇數時\(\psi_n\)是奇函數。
伯努利數
定義 2：伯努利數 (Bernoulli Numbers)
考慮伯努利多項式的常數項\(b_n=\phi_n(0)\)，易知：
1. \(n\)為奇數時\(b_n=0\)。
2. \(n\)為偶數時 \[
b_n=(-1)^{\frac{n}{2}+1}\cdot\frac{2}{(2\pi)^n}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^n}
\] 令\(n=2m, m=1,2,3\cdots\)，令
\[
B_m=(-1)^{m-1}(2m)!b_{2m}
\] 稱\(B_m\)為第\(m\)個伯努利數。
例 2-1
我們有 \[ B_1=\frac{1}{6},B_2=\frac{1}{30},B_3=\frac{1}{42},\cdots \]
註記 2-2
我們有 \[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{2n}}=\frac{(-1)^{n-1}}{2}(2\pi)^{2n}b_{2n}=\frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}B_n \] 這是\(\zeta(2n)\)的值，見這裡的定義4。
註記 2-3
由註記2-2直接有：
1. 當\(n\to\infty\)時\(|b_n|\to 0\)。
2. 當\(n\to\infty\)時\(|B_n|\to\infty\)。
生成函數
考慮 \[ F(t,z)=\sum_{k=0}^\infty\psi_n(t)z^n, t,z\in\mathbb{R} \] 首先，因為存在\(M<\infty\)使得 \[ |\psi_n(t)|\leq\frac{M}{(2\pi)^n} \] 故我們知道當\(|z|<2\pi\)時\(F(t,z)\)收斂。再來，考慮微分： \[ \begin{aligned} \frac{d}{dt}F(t,z)&=\sum_{k=1}^\infty\psi_{n-1}(t)z^n\\ &=z\sum_{n=1}^\infty\psi_{n-1}(t)z^{n-1}\\ &=zF(z,t) \end{aligned} \] 於是大概可以猜到\(F(t,z)=ce^{zt}\)。又 \[ \begin{aligned} 1&=\int_0^1 F(t,z)dt\mbox{ (註記1-2)}\\ &=c\int_0^1 e^{zt}dt\\ &=c\times\frac{e^z-1}{z} \end{aligned} \] 故知\(c=\frac{z}{e^z-1}\)，於是\(F(t,z)=\frac{ze^{zt}}{e^z-1}\)，且當\(t\to 0\)時有 \[ \lim_{t\to 0}F(t,z)=\frac{z}{e^z-1}=1+\sum_{n=1}^\infty b_nz^n \] 又\(b_1=-\frac{1}{2}\)，兩邊加\(\frac{z}{2}\)，有 \[ \frac{z}{e^z-1}+\frac{z}{2}=1+\sum_{n=2}^\infty b_nz^n \] 左式是 \[ \frac{z}{2}\frac{e^z+1}{e^z-1}=\frac{z}{2}\coth z \] 而右式是 \[ \sum_{n=0}^\infty\frac{B^*_{2n}}{(2n)!}z^{2n} \] 其中\(B^*_{n}=n!b_n\)。