這份筆記是關於無窮乘積的性質與例子。
無窮乘積
定義 1：無窮乘積的收斂 (Convergence of Infinite Production)
令\(A_n=\prod\limits_{k=1}^n a_k\)，若當\(n\to\infty\)時\(A_n\to A\)，則說\(\prod\limits_{k=1}^\infty a_k\)收斂，且記 \[ \prod_{k=1}^\infty a_k=A \]
引理 2
若\(a_n>0\)，則\(\prod a_n\)收斂 iff. \(\sum\log a_n\)收斂。
證明：我們有 \[ \sum\log a_n=\log\left(\prod a_n\right) \] 由於\(\log x\)連續，故\(\prod a_n\)收斂 iff. \(\sum\log a_n\)收斂。QED
引理 3
若\(\sum |a_n|\)收斂，則\(\prod(1+a_n)\)收斂。
證明：WLOG，假設對所有\(n\)有\(|a_n|<\frac{1}{2}\)(因為\(a_n\to 0\))。考慮\(\sum\log(1+a_n)\)。由微分均值定理(這裡的定理4)，我們知道存在\(0<\theta<1\)使得 \[ \log(1+x)-\log 1=\frac{x}{1+\theta x} \] 故我們可以有 \[ \sum\log(1+a_n)=\sum\frac{a_n}{1+\theta_n a_n}, 0<\theta_n<1 \] 又 \[ \left|\frac{a_n}{1+\theta_n a_n}\right|\leq\left|\frac{a_n}{1-\frac{1}{2}\theta_n}\right|\leq\left|\frac{a_n}{1-\frac{1}{2}}\right|=2|a_n| \] 於是，由\(\sum|a_n|\)收斂知\(\sum 2|a_n|\)收斂，故\(\sum\left|\frac{a_n}{1+\theta_n a_n}\right|\)收斂，然後有\(\sum\log(1+a_n)\)收斂，故由引理2知\(\prod(1+a_n)\)收斂。QED
黎曼Zeta函數
定義 4：黎曼Zeta函數 (Riemann Zeta Function)
即 \[
\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}
\] 我們在前面看過(這裡的例10)級數在\(s>1\)時收斂。
引理 5
令\(p_n\)是第\(n\)個質數，則 \[ \zeta(s)=\prod_n\frac{1}{1-p_n^{-s}} \]
證明：我們知道 \[ \frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}=\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+\cdots \] 於是，我們知道 \[ \begin{aligned} \frac{1}{p_1^{-s}}\cdot\frac{1}{1-p_2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-p_3^{-s}}\cdots=&\left(1+\frac{1}{p_1^s}+\frac{1}{p_1^{2s}}+\frac{1}{p_1^{3s}}+\cdots\right)\\ &\cdot\left(1+\frac{1}{p_2^s}+\frac{1}{p_2^{2s}}+\frac{1}{p_2^{3s}}+\cdots\right)\\ &\cdot\left(1+\frac{1}{p_3^s}+\frac{1}{p_3^{2s}}+\frac{1}{p_3^{3s}}+\cdots\right)\cdots\\ =&1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots \end{aligned} \] 於是證畢。QED
註記 5-1
結合引理3，我們有 \[ \frac{1}{1-p^{-s}}=1+\frac{1}{p^s-1} \] 且 \[ 1+\frac{1}{p^s-1}=\frac{2}{p^s} \] 由於\(s>1\)時\(\sum\limits_p\frac{2}{p^s}\)收斂，故可知\(s>1\)時\(\zeta(s)\)也收斂。
定理 6
令\(p\)為質數，則 \[
\sum_p\frac{1}{p}
\] 發散。
證明：假設級數收斂，令 \[ \alpha_n=\frac{1}{1-p_n^{-1}}-1=\frac{p_n^{-1}}{1-p_n^{-1}} \] 我們有\(0\leq\alpha_n\leq\frac{2}{p_n}\)。由假設，\(\sum\alpha_n\)收斂，由引理3知\(\prod(1+\alpha_n)\)收斂。但由引理5知 \[ \prod(1+\alpha_n)=\prod\frac{1}{1-p_n^{-1}}=\sum\frac{1}{n} \] 發散。矛盾。QED