這份筆記是關於積分的絕對收斂的定義與例子。
積分的絕對收斂
定義 1
定義 1-1：絕對收斂 (Absolutely Convergence)
我們說\(\int_0^\infty f(x)dx\)絕對收斂，若\(\int_0^\infty |f(x)|dx\)收斂。
定義 1-2：條件收斂 (Conditionally Convergence)
我們說\(\int_0^\infty f(x)dx\)條件收斂，若\(\int_0^\infty f(x)dx\)收斂但\(\int_0^\infty |f(x)|dx\)發散。
例 1-3：狄利克雷積分 (Dirichlet Integral)
積分 \[
\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx
\] 是條件收斂的。
證明：我們已經知道\(\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\)收斂了(這裡的定理7)。我們希望說明
\[
\int_0^x\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx=\int_0^\infty\frac{|\sin
x|}{x}dx
\] 發散。我們令 \[
a_n=\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\frac{\sin x}{x}dx
\] 則 \[
\begin{aligned}
|a_n|&=\left|\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\frac{\sin x}{x}\right|\\
&=\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\frac{|\sin x|}{x}dx\\
&\mbox{(}\sin x\mbox{在}[(n-1)\pi,n\pi]\mbox{間不改變正負號)}\\
&=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\sin(\xi-\pi)|}{\xi-\pi}d\xi\\
&\mbox{(整個函數右移}\pi\mbox{)}\\
&=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\sin\xi|}{\xi-\pi}d\xi\\
&\geq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\sin\xi|}{\xi}d\xi=|a_{n+1}|
\end{aligned}
\] 意即\(|a_n|\geq|a_{n+1}|\)，且易知\(|a_n|\to 0\)，\(\{a_n\}\)正負號交錯。
接著我們可以把\(\int_0^\infty\frac{\sin
x}{x}dx\)寫作 \[
\lim_{A\to\infty}\int_0^A\frac{\sin
x}{x}dx=\lim_{A\to\infty}\left(\sum_{k=0}^{\mu_A}a_k+\int_{\mu_A\pi}^A\frac{\sin
x}{x}\right)
\] 其中\(\mu_A\in\mathbb{Z}\)滿足\(\mu_A\pi\leq A<(\mu_A+1)\pi\)。而又
\[
|a_n|=\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\frac{|\sin x|}{x}dx\geq\frac{2}{n\pi}
\] 於是知道\(\sum
a_n\)發散，即\(\int_0^\infty\left|\frac{\sin
x}{x}\right|\)發散。QED