這份筆記是關於冪級數的性質。
冪級數
定義 1：冪級數 (Power Series)
即形如 \[ c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_nx^n+\cdots \] 的級數。
註記 1-1
顯然任何冪級數都在\(x=0\)收斂。
定理 2
給定冪級數\(c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots\)，假設它在\(x=\xi\)處收斂(其中\(\xi\neq 0\))，則對所有\(|x|<|\xi|\)的\(x\)，此級數都絕對收斂。
證明：由於\(\sum\limits_{n=0}^\infty c_n\xi_n\)收斂，故\(\exists M>0\) s.t. \[ |c_n\xi^n|\leq M<\infty,\forall n \] 今給定\(|x|<|\xi|\)，存在\(0<q<1\) s.t. \(|x|\leq q|\xi|\)，故 \[ |c_nx^n|\leq|c_n\xi^n|q^n\leq Mq^n \] 於是知\(\sum|c_nx^n|\leq\sum Mq^n\)收斂，故\(\sum c_nx^n\)絕對收斂。QED
推論 2-1
沿用定理2的符號，\(\sum\limits_{n=0}^\infty
c_nx^n\)在\([-\eta,\eta]\subset[-\xi,\xi]\)中一致收斂。
證明：若\(|x|\leq\eta<|\xi|\)，則存在\(0<q<1\)使得\(|\eta|\leq q|\xi|\)，故 \[ |c_nx^n|=\left|c_n\frac{\xi^n}{\xi^n}x^n\right|\leq M\left|\frac{x}{\xi}\right|^n\leq M\left(\frac{\eta}{|\xi|}\right)^n\leq Mq^n \] 且其中\(q\)與\(x\)無關，故\(\sum\limits_{n=0}^\infty c_nx^n\)在\([-\eta,\eta]\)一致收斂。QED
定義 3：收斂半徑 (Radius of Convergence)
給定一冪級數，由定理2易知存在\(\rho\)使得當\(|x|<\rho\)時級數收斂，\(|x|>\rho\)時級數發散。稱這樣的\(\rho\)為此級數的收斂半徑。
(\(|x|=\rho\)時，怎麼樣都沒有關係。)
註記 3-1
由推論2-1和這裡的定理8知對於所有\(x\in[-\eta,\eta]\subset[-\rho,\rho]\)，有 \[ \int\sum_{n=0}^\infty c_nx^ndx=\sum_{n=0}^\infty c_n\int x^ndx \]
定理 4
\(\sum c_nx^n\)和\(\sum
nc_{n-1}x^{n-1}\)(逐項微分)的收斂半徑一樣。
證明：在收斂半徑中挑一個\(|\xi|<\rho\)，我們知道\(\sum c_n\xi^n\)收斂，故存在某個\(M\)使得對於所有的\(n\)有\(|c_n\xi^n|\leq M<\infty\)。故有 \[
|c_n\xi^{n-1}|\leq\frac{M}{|\xi|}
\] 今給定\(0<q<1\)，把\(|x|\)限制在\(|x|\leq q|\xi|\)上。則 \[
|c_nnx^{n-1}|\leq|c_nnq^{n-1}\xi^{n-1}|\leq\frac{M}{|\xi|}nq^{n-1}
\] 然而 \[
\sum_n\frac{M}{|\xi|}nq^{n-1}=\frac{M}{|\xi|}\sum_n nq^{n-1}
\] 使用比率檢驗(這裡的定理8)可以發現它收斂，故\(\sum c_nnx^{n-1}\)絕對收斂。
然後，挑一個\(\xi'\) s.t. \(|\xi|<|\xi'|<\rho\)，並有\(0<q<1\) s.t. \(|\xi|=q|\xi'|\)。然後就知\(\sum c_nx^{n-1}n\)在\(x=\xi\)收斂。於是，可以知道對於所有\(x\in(-\rho,\rho)\), \(\sum
c_nnx^{n-1}\)都收斂。QED
推論 4-1
可以發現不管微分幾次收斂半徑都一樣。
冪級數的四則運算
定義 5：冪級數的加減法 (Addition and Subtraction of Power Series)
即 \[ \sum a_nx^n\pm\sum b_nx^n=\sum(a_n\pm b_n)x^n \]
定義 6：冪級數的乘法 (Multiplication of Power Series)
即 \[ \left(\sum a_nx^n\right)\left(\sum b_nx^n\right)=\sum c_nx^n \] 其中 \[ c_n=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} \]
定義 6-1：柯西積 (Cauchy Product)
定義6中的\(\{c_n\}\)稱為\(\{a_n\}, \{b_n\}\)的柯西積。
定理 6-2
若\(x\)同時落在\(\sum a_nx^n\)和\(\sum b_nx^n\)的收斂半徑內，則 \[
\left(\sum a_nx^n\right)\left(\sum b_nx^n\right)=\sum c_nx^n
\] 其中\(c_n\)定義同上。
證明：因為\(\sum a_nx^n\)和\(\sum b_nx^n\)都絕對收斂，所以可以隨便重排沒關係(這裡的定理6-1)。QED
冪級數的唯一性
定理 7
若在收斂半徑內所有的\(x\)都有\(\sum a_nx^n=\sum b_nx^n\)，則\(a_n=b_n,\forall n\)。也就是說，若\(\phi(x)=\sum c_nx^n\)恆為零，則\(c_n=0,\forall n\)。
證明：由\(\phi(0)=0\)有\(c_0=0\)。微分一次，會有 \[ \begin{aligned} &\sum c_nnx^n=0\\ \Rightarrow&c_1\times 1=0\\ \Rightarrow&c_1=0 \end{aligned} \] 一直重複下去，會發現所有\(c_n\)都是\(0\)。QED
註記 8：泰勒定理 (Taylor's Theorem)
若\(f(x)=\sum a_nx^n\)，則 \[ a_n=\frac{1}{k!}f^{(k)}(0) \]
證明：用冪級數的唯一性就有了。QED
例 8-1
考慮函數\(f(x)=(1+x)^\alpha\), \(\alpha\in\mathbb{R}\)。我們想找到冪級數\(\sum c_nx^n\)使得 \[
f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n
\] 我們分成三個步驟：
1. 找出\(\{c_n\}\)：我們已知\((1+x)f'(x)=\alpha f(x)\)，即 \[
\begin{aligned}
(1+x)\left(\sum_{n=1}^\infty nc_nx^n\right)&=\alpha\sum_{n=0}^\infty
c_nx^n\\
&=c_1+(2c_2+c_1)x+(3c_3+2c_2)x^2+\cdots
\end{aligned}
\] 比較係數有 \[
\alpha c_0=c_1,\alpha c_1=2c_2+c_1,\alpha c_2=3c_3+2c_2\cdots
\] 故有 \[
c_1=\alpha,
c_2=\frac{\alpha(\alpha-1)}{2},c_3=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3\times
2},\cdots,c_n=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}
\]
2. 檢查收斂半徑：我們有級數\(\sum\limits_{n=0}^\infty
C^\alpha_nx^n\)了，使用比率檢驗有 \[
\left|\frac{C^\alpha_{n+1}x^{n+1}}{C^\alpha_nx^n}\right|=\left|\frac{\alpha-n+1}{n}x\right|
\] 當\(n\to\infty\)時，\(\left|\frac{\alpha-n+1}{n}x\right|\to
|x|\)，故知當\(|x|<1\)時級數收斂，收斂半徑是\(\rho=1\)。
3.
檢查即樹是否真的收斂到函數：令\(g(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty
C^\alpha_nx^n\)。我們可以知道\((1+x)g'(x)=\alpha g(x)\)且\(g(0)=1\)。令 \[
\phi(x)=\frac{g(x)}{(1+x)^\alpha}
\] 我們知道\(\phi(0)=1\)，我們希望說明\(\phi(x)\equiv 1\)。
我們有 \[
\begin{aligned}
\phi'(x)&=\frac{(1+x)^\alpha
g'(x)-\alpha(1+x)^{\alpha-1}g(x)}{(1+x)^{2\alpha}}\\
&=\frac{(1+x)^{\alpha-1}}{(1+x)^{2\alpha}}\left((1+x)g'(x)-\alpha
g(x)\right)\\
&=0
\end{aligned}
\] 故知\(\phi(x)\equiv 1\)。