這份筆記是關於羅必達定理的說明。
交點階數
定義 1：n階交點 (Contact of n-th Order)
我們說\(f\)和\(g\)在\(a\)有\(n\)階交點，若 \[ f^{(k)}(a)=g^{(k)}(a),\forall 0\leq k\leq n \]
例 1-1
考慮\(f(x)=e^x\), \(g(x)=1+x\)，這兩個函數在\(x=0\)有一階交點。
考慮\(f(x)=e^x\), \(g(x)=1+x+\frac{x^2}{2}\)，這兩個函數在\(x=0\)有二階交點。
註記 1-2
若\(f\)和\(g\)在\(a\)有二階交點，則當\(h\to 0\)時，\(f(a+h)-g(a+h)\to 0\)。且\(f(a+h)-g(a+h)\)的量級是\(h^3\)。
證明：令\(D(x)=f(x)-g(x)\)，考慮\(D(a+h)\)的泰勒多項式，則 \[ D(a+h)=\frac{h^3}{3!}D'''(a+\theta h) \] (\(D(a+h)\)的三階剩餘項)，故\(h\to 0\)時\(D(a+h)\to 0\)。QED
定義 2：零點階數 (Order of Zero)
我們說\(f(x)\)在\(a\)恰有\(n\)階零點，若 \[ f(a)=f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0 \] 但\(f^{(n)}(a)\neq 0\)(這裡也會說\(f\)在\(a\)消失(Vanish)的階數是\(n\))。
羅必達法則
考慮在\(a\)恰有\(\nu\)階零點的函數\(g(x)\)，及在\(a\)恰有\(\mu\)階零點的函數\(f(x)\)。我們想討論 \[ \phi(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \] 在\(a\)附近的行為(假設\(g(x)\)在\(a\)附近都不是\(0\))。我們有：
定理 3：羅必達法則 (L'Hôpital's Rule)
若\(f\)和\(g\)在\(a\)消失的階數一樣(\(\mu=\nu\))或\(f\)比\(g\)多(\(\mu>\nu\))。定義 \(\phi(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)，則 \[ \lim_{h\to 0}\phi(a+h)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\lim_{h\to 0}\frac{f'(a+h)}{g'(a+h)}=\lim_{h\to 0}\frac{f^{(v)}(a+h)}{g^{(v)}(a+h)} \]
證明：就對\(f\)和\(g\)在\(a\)泰勒展開就好了。QED
定義 3-1：無限大的階數 (Order of Infinity)
在上述定理3中，若\(\mu<\nu\)，則說\(\phi\)前往無限大的階數是\(\nu-\mu\)。