這份筆記是關於各式瑕積分的定義與範例。
瑕積分
回想 1
原本的積分是定義在閉區間的連續函數上的(見這裡的定義1)，我們希望可以將定義拓展到非閉區間(Ex:\([a,\infty)\))以及在區間內不連續的函數。
定義 2：瑕積分 (Improper Integral)
定義 2-1：開區間上的瑕積分 (Improper Integral on Open Intervals)
給定在\((a,b)\)上連續的函數\(f\)，我們說\(\int_a^b f(x)dx\)存在，若 \[
\lim_{\epsilon\to 0}\int_{\alpha_\epsilon}^{\beta_\epsilon}f(x)dx
\] 存在。其中\(\lim\limits_{\epsilon\to
0}\alpha_\epsilon=a\), \(\lim\limits_{\epsilon\to
0}\beta_\epsilon=b\)。
(可以把\(\alpha_\epsilon\)和\(\beta_\epsilon\)想成\(\epsilon\)的函數)
例 2-1-1
例如\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)，它在\((0,1)\)上連續，但在\([0,1]\)不連續(\(x=0\)處會出問題)，故原本的定義不適用。
定義 2-2：區間上不連續的瑕積分 (Improper Integral on Non-continuous Functions)
給定在\((a,b)\)上的函數\(f\)，其除了在有限個點\(c_1,c_2,\cdots,c_n\)外都連續。則定義 \[ \int_a^b f(x)dx=\int_a^{c_1}f(x)dx+\int_{c_1}^{c_2}f(x)dx+\cdots+\int_{c_{n-1}}^{c_n}f(x)dx+\int_{c_n}^b f(x)dx \] (其中各項的積分使用上述的定義2-1)
定義 2-3：收斂與發散 (Convergence and Divergence)
若上述定義2-1與2-2中的極限存在，則稱積分\(\int_a^b f(x)dx\)收斂。否則，稱其發散。
定理 3
若\(f\)在\((a,b)\)上連續，且\(f\)在\((a,b)\)上有界，則\(\int_a^b f(x)dx\)收斂。
定義 3-1：有界與有限 (Bounded and Finite)
定義 3-1-1：有界 (Bounded)
給定函數\(f\)和區間\((a,b)\)，若是對於所有\(x\in(a,b)\)，存在\(M\)使得\(|f(x)|\leq M<\infty\)，則稱\(f\)在\((a,b)\)上有界。
定義 3-1-2：有限 (Finite)
若對所有\(x\in(a,b)\)，有\(|f(x)|<\infty\)，則稱\(f\)在\((a,b)\)上有限。
例 3-1-3
像是\(f(x)=\frac{1}{x}\)，其在\((0,1)\)上有限，但不有界。
定理3的證明：我們希望說明以下兩件事情：
1. 當\(\alpha_n\to a\)時，有\(\int_{\alpha_n}^b f(x)dx\)收斂。
2.
極限值與\(\{\alpha_n\}\)無關。
我們底下將這兩項分別討論。
1. 令\(\int_{\alpha_n}^b
f(x)dx=A_n\)，我們希望說明\(\{A_n\}\)是柯西序列。
我們有 \[
|A_n-A_m|=\left|\int_{\alpha_n}^{\alpha_m}f(x)dx\right|\leq|M(\alpha_m-\alpha_n)|
\] 當\(n,m\)很大時，有\(|\alpha_n-\alpha_m|\to 0\)，故\(|A_n-A_m|\to 0\)。於是存在一個\(A\)，使得\(\lim\limits_{n\to\infty}A_n=A\)。
2. 給定兩數列\(\{\alpha_n^1\}\),
\(\{\alpha_n^2\}\)且\(\alpha_n^1\to a\), \(\alpha_n^2\to a\)。令 \[
\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}\int_{\alpha_n^1}^b f(x)dx&=A_1\\
\lim_{n\to\infty}\int_{\alpha_n^2}^b f(x)dx&=A_2
\end{aligned}
\] 我們希望說明\(A_1=A_2\)，也就是說\(\forall\epsilon>0\)，有\(|A_1-A_2|<\epsilon\)。令 \[
\begin{aligned}
F(\alpha_n^1)&=\int_{\alpha_n^1}^b f(x)dx\\
F(\alpha_n^2)&=\int_{\alpha_n^2}^b f(x)dx
\end{aligned}
\] 則有 \[
\begin{aligned}
|A_1-A_2|&=|A_1-F(\alpha_n^1)+F(\alpha_n^1)-F(\alpha_n^2)+F(\alpha_n^2)-A_2|\\
&\leq
|A_1-F(\alpha_n^1)|+|F(\alpha_n^1)-F(\alpha_n^2)|+|F(\alpha_n^2)-A_2|
\end{aligned}
\] 根據定義\(|A_1-F(\alpha_n^1)|\)和\(|F(\alpha_n^2)-A_2|\)可以任意小，且\(|F(\alpha_n^1)-F(\alpha_n^2)|=\int_{\alpha_n^1}^{\alpha_n^2}f(x)dx\)因為\(f\)連續所以也可以任意小(這裡的引理6)。於是，\(|A_1-A_2|\)可以任意小。QED
例 4
考慮積分 \[
\int_0^1\frac{1}{x^\alpha}dx=\lim_{\epsilon\to
0}\int_\epsilon^1\frac{1}{x^\alpha}dx=\lim_{\epsilon\to
0}\frac{1}{1-\alpha}(1-\epsilon^{-\alpha+1})
\] 於是，我們有
1.\(\alpha>1\)時，積分發散。
2.\(\alpha=1\)時，有\(\int_\epsilon^1\frac{1}{x}dx=\log\epsilon\)。易知\(\epsilon\to 0\)時，\(\log\epsilon\to -\infty\)。故積分發散。
3.\(\alpha<1\)時，積分收斂到\(\frac{1}{1-\alpha}\)。
定理 4-1
若\(\lim\limits_{x\to
b}|f(x)|=\infty\)但存在\(M<\infty\)及\(\mu<1\)使得\(|f(x)|\leq\frac{M}{(x-b)^\mu}\)，則\(\int_a^b f(x)dx\)收斂。
證明：有 \[ \begin{aligned} &|f(x)|\leq\frac{M}{(x-b)^\mu},\;\mu<1\\ \Rightarrow&0\leq\frac{M}{(x-b)^\mu}+f(x)\leq\frac{2M}{(x-b)^\mu}\\ \Rightarrow&0\leq\int_a^b\left[\frac{M}{(x-b)^\mu}+f(x)\right]dx\leq\int_a^b\frac{2M}{(x-b)^\mu}dx \end{aligned} \] 由於\(\int_a^b\frac{M}{(x-b)^\mu}dx\)收斂(上例4)，故\(\int_a^b f(x)dx\)收斂。QED
例 5
考慮積分 \[
\int_1^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx=\lim_{A\to\infty}\int_1^A\frac{dx}{x^\alpha}=\lim_{A\to\infty}\frac{1}{1-\alpha}\left(A^{-\alpha+1}-1\right)
\] 於是，我們有：
1.\(\alpha>1\)時，積分收斂到\(\frac{1}{1-\alpha}\)。
2.\(\alpha=1\)時，同例4中的狀況，可知積分發散。
3.\(\alpha<1\)時，積分發散。
定理 5-1
若存在\(s>1\)使得\(x\to\infty\)時\(|f(x)|=O\left(\frac{1}{x^s}\right)\)，則\(\int_1^\infty f(x)dx\)收斂。
證明：同定理4-1類似。QED
伽瑪函數
定義 6：伽瑪函數 (Gamma Function)
對\(n>0\)，定義 \[ \Gamma(n)=\int_0^\infty e^{-x}x^{n-1}dx \]
性質 6-1
\(\Gamma(n)\)收斂。
證明：我們有 \[
\Gamma(n)=\int_0^1 e^{-x}x^{n-1}dx+\int_1^\infty e^{-x}x^{n-1}dx
\] 我們將分別說明以上的兩個部份分別收斂。
1. 考慮\(\int_0^1 e^{-x}x^{n-1}dx\)。若\(n-1>0\)則積分當然收斂。若\(n-1<0\)，則在\((0,1)\)上有\(0\leq e^{-x}\leq 1\)。且由上述例4知\(\int_0^1 x^{n-1}dx\)收斂(\(1-n<1\))。故 \[
0\leq \left|\int_0^1 e^{-x}x^{n-1}dx\right|\leq\left|\int_0^1
x^{n-1}\right|
\] 即知\(\left|\int_0^1
e^{-x}x^{n-1}dx\right|\)有界。由上定理3知\(\int_0^1 e^{-x}x^{n-1}dx\)收斂。
2.
考慮\(\int_1^\infty
e^{-x}x^{n-1}dx\)。我們有 \[
x^2e^{-x}x^{n-1}=\frac{x^{n+1}}{e^x}
\] 又由這裡的引理1-1-1知
\[
\lim_{x\to\infty}x^2e^{-x}x^{n-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n+1}}{e^x}=0
\] 故知\(e^{-x}x^{n-1}=O\left(\frac{1}{x^2}\right)\)。由上述定理5-1知\(\int_1^\infty
e^{-x}x^{n-1}dx\)收斂。QED
性質 6-2
對於\(n\in\mathbb{N}\)，有\(\Gamma(n)=(n-1)!\)。
證明：使用分部積分法(這裡的定理2)有 \[ \int_0^\infty e^{-x}x^{n-1}dx=\left.-e^{-x}x^{n-1}\right|_0^\infty+(n-1)\int_0^\infty e^{-x}x^{n-2}dx \] 故知\(\Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1)\)，可以從此推出\(\Gamma(n)=(n-1)!\)。QED
狄利克雷積分
定理 7：狄利克雷積分 (Dirichlet Integral)
積分 \[
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx
\] 收斂。
證明：一樣把積分拆成 \[
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx=\int_0^1 \frac{\sin
x}{x}dx+\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}dx
\] 我們一樣分兩步驟說明兩個部份分別收斂。
1. 考慮積分\(\int_0^1 \frac{\sin
x}{x}dx\)。我們知道\(\frac{\sin
x}{x}\)在\((0,1)\)之間有界，故由上述定理3知\(\int_0^1 \frac{\sin x}{x}dx\)收斂。
2.
考慮積分\(\int_1^\infty \frac{\sin
x}{x}dx\)。我們有 \[
\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}dx=\lim_{B\to\infty}\int_1^B\frac{\sin
x}{x}dx
\] 而由分部積分有 \[
\begin{aligned}
\int_1^B\frac{\sin x}{x}dx&=\int_1^B\frac{(1-\cos x)'}{x}dx\\
&=\left.\frac{1-\cos x}{x}\right|_1^B+\int_1^B\frac{1-\cos
x}{x^2}dx\\
&=\frac{1-\cos B}{B}-(1-\cos 1)+\int_1^B\frac{1-\cos x}{x^2}dx
\end{aligned}
\] 當\(B\to\infty\)時，\(\frac{1-\cos B}{B}\to 0\)。且又知\(\int_1^B\frac{1}{x^2}dx\)收斂且\(1-\cos x\)有界。故知\(\int_1^B\frac{1-\cos x}{x^2}dx\)在\(B\to \infty\)收斂。於是知\(\int_1^\infty\frac{\sin x}{x}dx\)收斂。
總的來說，可以知道\(\int_0^\infty\frac{\sin
x}{x}dx\)收斂。QED
