這份筆記是關於兩個特殊的函數。
導數不恆為零，但在零的各階導數總是零的函數
性質 1
考慮函數 \[ f(x)=\left\{ \begin{aligned} e^{-\frac{1}{x^2}}&,\mbox{ when }x\neq 0\\ 0&,\mbox{ when }x=0 \end{aligned} \right. \] 其每一階導數都不是零(即不會變成零函數)，但每一階導數都有\(f^{(n)}(0)=0\)。
定義 1-1：消失 (Vanish)
若是一個函數恆為零，則稱它是消失了。
而若在\(c\)有\(f(c)=0\)，則也說\(f\)在\(c\)消失了。
性質1的證明：由\(x\to 0\)時\(e^{-1/x^2}\to 0\)，故知\(f\)在全域可微。考慮\(f'(x)=\frac{2}{x^3}e^{-1/x^2}\)，令\(\xi=\frac{1}{x^2}\)，則\(f'(x)=\frac{2\xi^{3/2}}{e^\xi}\)。故由這裡的引理1-1-1知\(x\to 0\)時\(f'(x)\to 0\)。而 \[ f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{-1/h^2}-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(e^{-1/h^2}\right)=0 \] (最後一步還是這裡的引理1-1-1)也就是說\(f'(x)\)還是全域連續。如上一直重複就有\(f^{(n)}(x)=P\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2}\)，其中\(P\left(\frac{1}{x}\right)\)是\(\frac{1}{x}\)的多項式。故\(f^{(n)}(0)\)總是\(0\)，\(f^{(n)}\)也恆連續，但也永遠不會恆為零。QED
全域連續卻只在零不可微的函數
性質 2
考慮函數 \[
f(x)=\left\{
\begin{aligned}
x\sin\frac{1}{x}&,\mbox{ when }x\neq 0\\
0&,\mbox{ when }x=0
\end{aligned}
\right.
\] 其在全域都連續，但在\(x=0\)處不可微。
證明：易知\(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0\)，故\(f\)在全域連續。而 \[ f'(x)=\sin\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x} \] 可以看出\(\lim\limits_{x\to 0}f'(x)\)不會存在，且 \[ f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\sin\frac{1}{h} \] 也不會存在。QED
定理 3
假設\(f(x)\)全域連續，且
1.
\(\lim\limits_{x\to a}f'(x)\)存在。
2. \(f'(a)\)存在。
則\(\lim\limits_{x\to 0}f'(x)=f'(a)\)
(也就是\(f'\)若存在則連續)。
證明：由微分均值定理(這裡的定理4)知存在\(\theta\in(a,a+h)\) s.t. \(f(a+h)-f(a)=f'(\theta)h\)，故 \[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(\theta) \] 令\(h\to 0\)，則左式趨近\(f'(a)\)且\(\theta\to a\)，即\(f'(a)=\lim\limits_{x\to a}f'(x)\)。QED