這份筆記是關於函數極值的性質。
二階導數檢驗法
回想 1
給定函數\(f\)在\((a,b)\)可微，在\([a,b]\)連續，則若\(\xi\in[a,b]\)使得\(f\)有在\([a,b]\)上的最大值(或最小值)，則\(f'(\xi)=0\)(見這裡的引理4-1(羅爾定理))。
定義 2：相對極值 (Relative Extreme)
定義 2-1：相對極大值 (Relative Maximum)
我們說\(f(x)\)在\(\xi\)有相對極大值，若存在一個\(\xi\)的鄰域使得在其中所有的\(x\)有\(f(x)\leq f(\xi)\)。
定義 2-2：相對極小值 (Relative Minimum)
我們說\(f(x)\)在\(\xi\)有相對極小值，若存在一個\(\xi\)的鄰域使得在其中所有的\(x\)有\(f(x)\geq f(\xi)\)。
註記2-3
須注意以下兩點：
1. 若\(f\)在\(\xi\)有極值，則\(f'(\xi)=0\)。
2. 就算\(f'(\xi)=0\)，\(f\)也不一定在\(\xi\)有極值(如考慮\(f(x)=x^3\)雖然\(\xi=0\)時\(f'(\xi)=0\)，但\(f(x)\)在\(\xi\)沒有極值)。
定理 3：二階導數檢驗法 (Second Derivative Test)
若\(f'(\xi)=0\)，則
1.
若\(f''(\xi)>0\)，則\(f\)在\(\xi\)有相對極小值。
2. 若\(f''(\xi)<0\)，則\(f\)在\(\xi\)有相對極大值。
證明：我們只證1.(2.同理)。
由定義，有 \[
f''(\xi)=\lim_{h\to 0}\frac{f'(\xi+h)-f'(\xi)}{h}>0
\] 由於\(f'(\xi)=0\)，有
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f'(\xi+h)}{h}>0
\] 即當\(h\)夠小時，\(f'(\xi+h)\)和\(h\)同號。(意思是\(h\)要夠小使得\(\frac{f'(\xi+h')}{h'}>0\)在\(h'\in(-h,h)\)時恆成立。因為\(f'(x)\)連續，我們可以找到這樣的\(h\)。)故\(x>\xi\)時\(f'(x)>0\)，\(x<\xi\)時\(f'(x)<0\)(☆)。我們希望當\(h\)足夠小時，\(f(\xi+h)-f(\xi)\geq 0\)。
由微分均值定理(這裡的定理4)知存在\(\xi^*\in(\xi,\xi+h)\)使得\(f(\xi+h)-f(\xi)=f'(\xi^*)h\)。而由上述(☆)式知\(f'(\xi^*)h\geq 0\)。QED