這份筆記是關於合成函數的各種性質。
鏈鎖律
定義 1：合成函數 (Composition Function)
給定\(\phi:[a,b]\to [\alpha,\beta]\)及定義在\([\alpha,\beta]\)上的函數\(g\)。則定義在\([a,b]\)上的函數\(f=g(\phi(x))\)是一個合成函數。
定理 2：鏈鎖律 (Chain Rule)
給定可微函數\(g(x), \phi(x)\)，則合成函數\(f(x)=g(\phi(x))\)也可微，且 \[ f'(x)=\phi'(x)g'(\phi(x)) \]
證明：首先，給定一個\(x\)。由於\(g\)在\(\phi(x)\)可微，故用前面一次近似的符號(這裡的定理10)，有 \[ \epsilon=\frac{\Delta g}{\Delta\phi}-g'(\phi) \] (是把\(g\)想成\(\phi\)的函數)可以發現\(\epsilon\)是\(\Delta \phi\)的函數(\(\phi=\phi(x)\)是給定的)，且\(\Delta\phi\to 0\)時\(\epsilon(\Delta\phi)\to 0\)。而上式可以寫成 \[ \Delta g=(g'(\phi)+\epsilon)\Delta\phi \] 類似的，用\(\phi(x)\)的一次近似，有 \[ \Delta\phi=(\phi'(x)+\eta)\Delta x \] 且\(\Delta x\to 0\)時\(\eta\to 0\)。故有 \[ \frac{\Delta g}{\Delta x}=(g'(\phi)+\epsilon)\frac{\Delta\phi}{\Delta x}=(g'(\phi)+\epsilon)(\phi'(x)+\eta) \] 而當\(\Delta x\to 0\)時\(\eta\to 0\), \(\Delta\phi\to 0\)且\(\epsilon\to 0\)。故當\(\Delta x\to 0\)時有 \[ \frac{\Delta g}{\Delta x}=g'(\phi)\phi' \] 而由定義\(\frac{\Delta g}{\Delta x}=f'\)，證畢。QED
註記 2-1
通常鏈鎖律也會寫成 \[ \frac{df}{dx}=\frac{dg}{d\phi}\cdot\frac{d\phi}{dx} \]
註記 2-1-1
用這個形式可以推導出反函數的微分(這裡的定理3)，推出來的形式會是 \[ (f^{-1})'=\frac{1}{f'(f^{-1})} \]