這份筆記是關於對數函數與指數函數的定義與性質。
對數函數
定義 1：對數函數 (Logarithm Function)
對於\(x>0\)，我們將對數函數定義為 \[ \log x=\int_1^x\frac{1}{u}du \]
註記 1-1
易知 \[\log 1=\int_1^1\frac{1}{u}du=0\] 及 \[\log b-\log a=\int_a^b\frac{1}{u}du\]
性質 1-2
對於所有\(x,y>0\)，有\(\log(xy)=\log x+\log y\)
證明：原式等價於說明\(\log(xy)-\log y=\log x\)，即 \[ \int_y^{xy}\frac{1}{u}du=\int_1^x\frac{1}{u}du \] 假定\(x>1\)，則考慮\([1,x]\)的分割\(\{1,u_1,u_2,\cdots,u_n\}\)，及\(\xi_i\in[u_{i-1},u_i]\)。由黎曼積分的定義有 \[ \int_1^x\frac{1}{u}du=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1}{\xi_i}\Delta u_i \] 令\(v_i=yu_i\), \(\eta_i=y\xi_i\)。我們知道\(\{v_i\}\)是\([y,xy]\)的分割，有 \[ \sum_{i=1}^n\frac{1}{\eta_i}\Delta v_i=\sum_{i=1}^n\frac{1}{\xi_i}\Delta u_i \] (\(y\)消掉了)故有 \[ \int_y^{xy}\frac{1}{u}du=\int_1^x\frac{1}{u}du \] 而當\(0<x<1\)時，考慮\(\frac{1}{x}\)。因為\(\frac{1}{x}>1\)，故由上推論知 \[ \log \frac{1}{x}+\log x=\log\frac{x}{x}=\log 1=0 \] (上面推論與\(y\)是否大於\(1\)無關，故在此\(x<1\)亦無妨)則有 \[ \begin{aligned} \log x+\log y&=\log x+\log\frac{1}{x}\cdot xy\\ &=\log x+\log\frac{1}{x}+\log xy\\ &=\log xy \end{aligned} \] QED
推論 1-2-1
由以上性質易得對於有理\(n\)，有\(\log x^n=n\log x\)。
指數函數
定義 2：歐拉數 (Euler Number)
在此將歐拉數定義為 \[ e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \]
性質 2-1
\[\log e=1\]
證明：由定義 \[ \log e=\log\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right) \] 由這裡的引理6知 \[ \log x=\int_1^x\frac{1}{u}du \] 是連續的。而由連續的定義(這裡的定義2-4)知 \[ \lim(\log x)=\log(\lim x) \] 故有 \[ \begin{aligned} \log e&=\log\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}n\log\left(1+\frac{1}{n}\right) \end{aligned} \] 而由積分均值定理知存在\(\xi\in[1,1+\frac{1}{n}]\)使得 \[ \log\left(1+\frac{1}{n}\right)=\int_1^{1+\frac{1}{n}}\frac{1}{u}du=\frac{1}{\xi}\times\frac{1}{n} \] 而當\(n\to\infty\)時，有\(\xi\to 1\)，故有 \[ \log\left(1+\frac{1}{n}\right)\to\frac{1}{n} \] 故有\(\log e=1\)。QED
定義 3：指數函數 (Exponential Function)
易知對數函數\(\log x\)是嚴格遞增的，所以其有反函數。將其反函數定義為指數函數\(E(x)\)。
註記 3-1
由 \[ \log e^x=x\log e=x \] 知\(E(x)=e^x\)。
註記 3-1-1
其實推論2-1中的\(\log x^n=n\log x\)僅會在\(n\)為有理數時成立，然而當\(n\)不是有理數時，可以構造有理數列\(n_k\to n\)，於是也有\(\log x^n=n\log x\)。
定義 3-2：廣義指數函數 (Generalized Exponential Function)
對於\(x>0\), \(\alpha\in\mathbb{R}\)，令 \[ x^\alpha=e^{\alpha\log x} \]
性質 3-3
\[\left(x^\alpha\right)^\beta=x^{\alpha\beta}\]
證明：只要說明\(\left(e^\beta\right)^\alpha=e^{\alpha\beta}\)即可。因為\(\log\)的值域是全實數域，故可以令\(\beta=\log m\)，對於某個\(m\in\mathbb{R}\)。故有\(m=e^\beta\)。則 \[ \left(e^\beta\right)^\alpha=m^\alpha=e^{\alpha\log m}=e^{\alpha\beta} \] QED
性質 3-4
\[x^\alpha\cdot x^\beta=x^{\alpha+\beta}\]
證明：由於\(\log\)是一對一函數，故只要說明\(\log\left(x^\alpha x^\beta\right)=\log\left(x^{\alpha+\beta}\right)\)即可。而此即說明 \[ \log x^\alpha+\log x^\beta=(\alpha+\beta)\log x \] 而這是顯然的。QED